Analysis

78 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Weise ist es das ja auch geblieben, aber die Mengenlehre liefert eben unserer
Imagination eine wunderbar präzise Sprache, in der wir uns auch über
imaginierte Dinge unmißverständlich austauschen können. Man kann dieselbe
Konstruktion auch allgemeiner durchführen, wenn man statt −1 irgendein
anderes Element eines Körpers K betrachtet, das kein Quadrat ist. Noch allgemeinere
Konstruktionen zur “Adjunktion höherer Wurzeln” oder sogar der
“Adjunktion von Nullstellen polynomialer Gleichungen” können Sie in der Algebra
kennenlernen, vergleiche etwa ??. In ?? diskutieren wir die komplexen
Zahlen ausführlicher.
Übung 3.4.13. Ein Körperhomomorphismus ist stets injektiv.
3.5 Der Aufbau des Zahlsystems*
3.5.1. Der Aufbau des Zahlsystems
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
erscheint in diesem Text nur in einer Abfolge von Nebenbemerkungen und
soll hier einmal zusammenfassend dargestellt werden.
1. Die Konstruktion der natürlichen Zahlen N diskutiere ich in ??. Kurz
wird das auch schon in 2.2.35 angerissen. Eine vollständig überzeugende
Diskussion dieser Struktur ist meines Erachtens nur im Rahmen der
Logik möglich.
2. Die Konstruktion der ganzen Zahlen Z aus den natürlichen Zahlen N, ja
der einhüllenden Gruppe eines beliebigen kommutativen Monoids wird
in ?? erklärt. Um die Multiplikation auf Z aus der Multiplikation auf
N zu erhalten, kann man dann wie in II.1.4.6 vorgehen.
3. Die Konstruktion des Körpers der rationalen Zahlen Q aus dem Integritätsbereich
der ganzen Zahlen Z, ja des Quotientenkörpers eines
beliebigen kommutativen Integritätsbereichs wird in ?? ausgeführt. Die
Anordnung auf Q dürfen Sie selbst in ?? konstruieren.
4. Die Konstruktion des angeordneten Körpers der reellen Zahlen R aus
dem angeordneten Körper der rationalen Zahlen Q wird zur Beginn der
Analysis in II.1.4.3 erklärt.
5. Die Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen C aus dem Körper
der reellen Zahlen R wurde in 3.4.11 angerissen und wird in ??
ausführlicher behandelt.