Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 701
2.7.18. Ist G kompakt, so ist ˆ G diskret und das Plancherelmaß zum auf
Gesamtmasse Eins normierten Haarmaß auf G ist das Zählmaß auf ˆ G.
Ergänzende Übung 2.7.19. Die Abbildung µ ↦→ µ ∧ mit µ ∧ (n) = z n µ〈z〉
liefert eine Injektion M(S 1 ) ↩→ Cb(Z). Hinweis: III.3.2.15 und IV.6.8.5 oder
besser VI.17.2.3. Gegeben w ∈ S 1 zeige man weiter ((w·)∗µ) ∧ (n) = w n µ ∧ (n).
Ist insbesondere w von unendlicher Ordnung, so gilt es außer den Vielfachen
des Haar’schen Maßes keine Borelmaße µ ∈ M(S 1 ) mit (w·)∗µ = µ. Bezeichnet
λ das auf Gesamtmasse Eins normierte Haar-Maß, so gilt insbesondere
für jede Borelmenge A ⊂ S 1 mit wA = A die Alternative λ(A) ∈ {0, 1}.
Satz 2.7.20 (Poisson-Formel). Seien V ein endlichdimensionaler reeller
Vektorraum, Γ ⊂ V ein Gitter, λ = λΓ das durch die Bedingung λ(V/Γ) =
1 normalisierte Haar-Maß auf V und Γ∧ ⊂ ˆ V das duale Gitter. Ist f ∈
L1
(V ; λ) eine integrierbare Funktion derart, daß für alle x ∈ V/Γ die Summe
v+Γ=x f(v) absolut konvergiert und daß diese Summen eine stetige Funktion
auf V/Γ liefern, so gilt für die Fouriertransformierte (fλ) ∧ des komplexen
Maßes fλ die Formel
(fλ) ∧ (ζ) =
f(γ)
ζ∈Γ ∧
2.7.21. Dieser Satz wurde unter etwas stärkeren Voraussetzungen bereits als
2.3.20 bewiesen. Hier formuliere ich noch einen koordinatenfreien Beweis. In
[?] wird eine noch allgemeinere Version beschrieben.
Beweis. Seien Γ ⊂ V V separable Pontrjagingruppen. Der kurzen exakten Sequenz
Γ ↩→ V ↠ V/Γ entspricht eine kurze exakte Sequenz in der Gegenrichtung,
die auch Γ∧ ↩→ ˆ V ↠ ˆ V /Γ∧ geschrieben werden kann mit Γ∧ = X(V/Γ)
und ˆ V /Γ∧ = X(Γ). Nun betrachten wir die beiden zueinander Pontrjagindualen
Spalten
V ˆV
p
γ∈Γ
ˆp
V/Γ Γ∧
0
i
von additiv notierten Gruppen. Der Beweis besteht im Wesentlichen darin,
von der obersten Etage mit Natürlichkeit in die mittlere Etage herunterzusteigen,
dort die Inversionsformel anzuwenden, und mit Natürlichkeit weiter
in die unterste Etage herunterzusteigen, in der dann die von der Poisson’schen
Summationsformel behauptete Gleichheit von komplexen Zahlen entsteht. In
î
0