Analysis

860 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Beweis. Wir wissen nach 3.9.2 bereits, daß unsere Räume Hausdorff sind.
Somit müssen wir nur noch um jeden Punkt eine Karte finden. Sei dazu
v ∈ K n+1 \0 ein Repräsentant unseres Punktes, H ⊂ K n+1 eine lineare Hyperebene
mit v ∈ H und U ⊂◦ P n K die Menge aller nicht in H enthaltenen
Geraden. Im kommutativen Diagramm
w ∈ K n+1 \H ↠ U
↓ ↓
(wK) ∩ (v + H) ∈ (v + H) → U
ist dann die obere Horizontale final nach 4.1.29 und die linke Vertikale glatt,
wie man durch explizite Rechnung prüft. Damit ist dann auch die untere
Horizontale final nach 4.1.17 und als bijektive finale Abbildung muß sie ein
Homöomorphismus sein.
Ergänzende Übung 4.2.11. Man konstruiere einen Diffeomorphismus SO(3) ∼ =
P 3 R von glatten Mannigfaltigkeiten. Hinweis: Man betrachte geeignete finale
Morphismen von S 3 auf beide Seiten. Hierzu mag die in 1.8.2 diskutierte
Spingruppe helfen.
Proposition 4.2.12 (über Untermannigfaltigkeiten). Für eine Teilmenge
des R n sind gleichbedeutend:
1. Unsere Teilmenge ist eine d-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit im
Sinne der Definition IV.4.3.2, ist also lokal C 1 -plättbar.
2. Unsere Teilmenge ist mit ihrer von (R n , C 1 ) induzierten Struktur eines
R-geringten Raums eine d-Mannigfaltigkeit im Sinne der vorstehenden
Definition 4.2.1.
4.2.13. Analoges gilt mit demselben Beweis auch für C k -Mannigfaltigkeiten
mit 0 ≤ k ≤ ∞ und für Mannigfaltigkeiten mit Ecken.
Beweis. Die einzige Richtung, die einen Beweis verdient, ist 2⇒1. Wir geben
dazu unserer Teilmenge den Namen M. Ist M mit seiner induzierten Struktur
eine d-Mannigfaltigkeit im Sinne von 4.2.1, so gibt es insbesondere für jeden
Punkt p ∈ M einen Isomorphismus von geringten Räumen
ϕ : W → ϕ(W ) ⊂◦ M
mit p ∈ ϕ(W ) und W ⊂◦ R k . Proposition IV.4.3.14 zeigt dann, daß M eine
eingebettete Mannigfaltigkeit ist, wenn wir nur zeigen können, daß ϕ als
Abbildung in den R n stetig differenzierbar ist mit injektivem Differential