Analysis

54 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
Es gibt genau n!/(α1! · · · αr!) Abbildungen f : X → {1, . . . , r}, die jedes i
genau αi-mal als Wert annehmen, in Formeln
n!
α1! · · · αr! = card{f | |f −1 (i)| = αi für i = 1, . . . r}
Ergänzung 2.2.30. Manche Autoren bezeichnen die Zahlen aus der vorherigen
Übung 2.2.29 auch als Multinomialkoeffizienten und verwenden die
Notation
n!
α1! · · · αr! =:
n
α1; . . . ; αr
Mich überzeugt diese Notation nicht, da sie im Gegensatz zu unserer Notation
für die Binomialkoeffizienten recht eigentlich nichts kürzer macht.
Ergänzende Übung 2.2.31. Man zeige die Formel
(x1 + . . . + xr) n =
α1+...+αr=n
n!
α1! · · · αr! xα1 1 · · · x αr
r
Hier ist zu verstehen, daß wir für alle α1, . . . , αr ∈ N mit α1 + . . . + αr = n
den angegebenen Ausdruck nehmen und alle diese Ausdrücke aufsummieren.
Ergänzende Übung 2.2.32. Eine zyklische Anordnung einer endlichen Menge
M ist eine Abbildung z : M → M derart, daß wir durch mehrmaliges
Anwenden von z auf ein beliebiges Element x ∈ M jedes Element y ∈ M
erhalten können. Man zeige, daß es auf einer n-elementigen Menge mit n ≥ 1
genau (n − 1)! zyklische Anordnungen gibt. Die Terminologie “zyklische Anordnung”
macht mich nicht besonders glücklich, da unsere Struktur nun beim
besten Willen keine Anordnung im Sinne von II.1.2 ist. Andererseits ist aber
das Angeben einer Anordnung auf einer endlichen Menge M schon auch etwas
Ähnliches.
Ergänzende Übung 2.2.33. Sei X eine Menge mit n ≥ 1 Elementen und sei
m eine natürliche Zahl. Man zeige, daß es genau n+m−1
Abbildungen f :
n−1
X → N gibt mit
x∈X f(x) = m. Hinweis: Man denke sich X = {1, 2, . . . , n}
und veranschauliche sich dann f als eine Folge auf f(1) Punkten gefolgt von
einem Strich gefolgt von f(2) Punkten gefolgt von einem Strich und so weiter,
insgesamt also eine Folge aus n + m − 1 Symbolen, davon m Punkten und
n − 1 Strichen.
Ergänzung 2.2.34. Gegeben eine Menge X mag man sich eine Abbildung
X → N veranschaulichen als eine “Menge von Elementen von X, in der jedes
Element mit einer wohlbestimmten Vielfachheit vorkommt”. Aufgrund dieser
Vorstellung nennt man eine Abbildung X → N auch eine Multimenge von