Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1363
∞
ν=0 (|w|/ρ)ν . Folglich können wir unsere Summe mit der Integration in der
Integralformel von Cauchy vertauschen und erhalten
∞
f(w) = 1
2πi
ν=0
|z|=ρ
f(z)
dz w
zν+1 ν
für jedes w ∈ K und jedes ρ mit |w| < ρ < r für r den Radius unserer offenen
Kreisscheibe K. Bei unserem Wegintegral ist dabei der geschlossene Weg
gemeint, der im Gegenuhrzeigersinn auf der Kreislinie |z| = ρ einmal um den
Ursprung läuft. Da unser Integral von ρ gar nicht abhängt, steht damit auch
schon eine Entwicklung in eine Potenzreihe da. Deren Koeffizienten müssen
wegen dem nach 1.7.5 erlaubten gliedweisen Ableiten gerade die f (ν) (0)/ν!
sein, so daß unsere Funktion auf der ganzen offenen Kreisscheibe dargestellt
wird durch ihre Taylorreihe
f(w) =
∞
ν=0
f (ν) (0)
ν! wν
1.7.8. Hat die Taylorreihe einer holomorphen Funktion an einer Stelle einen
gegebenen Konvergenzradius, so kann unsere Funktion nicht holomorph auf
eine offene Kreisscheibe mit Zentrum in besagter Stelle und echt größerem
Radius fortgesetzt werden: Sonst müßte sich nämlich diese Fortsetzung auf
der größeren offenen Kreisscheibe nach unserem Korollar auch durch ihre
Taylorreihe, notwendig dieselbe, darstellen lassen, im Widerspruch zu unseren
Annahmen an den Konvergenzradius.
Übung 1.7.9. Man bestimme den Konvergenzradius der Taylorreihe des Arcustangens
zum Entwicklungspunkt Eins.
Übung 1.7.10. Man zeige, daß für alle z ∈ C mit |z| < 1 der Hauptzweig des
Logarithmus von 1 + z auch dargestellt werden kann durch die Potenzreihe
log(1 + z) = z − z2 z3
+ − . . .
2 3
Hinweis: Mit etwas Tricksen hatten wir das in 1.2.12 schon einmal gesehen.
Übung 1.7.11. Man zeige, daß eine holomorphe Funktion f : C → C, für die
|f(z)|/|z n | für |z| > 1 beschränkt bleibt, ein Polynom vom Grad ≤ n sein
muß.
Übung 1.7.12 (Abschätzung der Koeffizienten einer Potenzreihe). Gegeben
eine holomorphe Funktion f, deren Definitionsbereich eine abgeschlossene
Kreisscheibe um p mit Radius R > 0 umfaßt, können die Koeffizienten
ihrer Taylorreihe bei p abgeschätzt werden durch
f
(n)
(p)
1
n! ≤ sup{|f(z)| | |z − p| = R}
Rn