Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 997
Kante, zwischen je zwei Knoten s, t ∈ S mit m(s, t) ≥ 3, und schreibt an
diese Kante noch die Zahl m(s, t) im Fall m(s, t) > 3.
Beispiel 7.6.4. Die affine Spiegelungsgruppe, deren Alkoven ein Schachbrettmuster
bilden, hat also den Coxetergraphen
• ∞ • • ∞ •
und nehmen wir für jedes Schachfeld noch seine beiden Diagonalen als Spiegelhyperebenen
hinzu, so hat der Coxetergraph dieser größeren Spiegelungsgruppe
die Gestalt
•
4
•
Proposition 7.6.5 (Charakterisierung endlicher Spiegelungsgruppen
durch ihren Coxetergraphen). Seien V1, V2 reelle euklidische Vektorräume
und seien darin W1 ⊂ GL(V1), W2 ⊂ GL(V2) endliche orthogonale Spiegelungsgruppen
ohne Fixpunkte außerhalb des Nullpunkts. Genau dann haben
W1 und W2 dieselbe Coxetermatrix alias denselben Coxetergraphen, wenn es
∼
eine lineare Isometrie ϕ : V1 → V2 gibt mit W2 = ϕW1ϕ−1 .
7.6.6. Noch präziser formuliert zeigen wir: Ist Ai ⊂ Vi jeweils ein Alkoven und
Si ⊂ Wi jeweils die Menge von Spiegelungen an den Wänden des Alkoven Ai
∼
und ist eine Bijektion ξ : S1 → S2 gegeben mit ord(st) = ord(ξ(s)ξ(t)) für
∼
alle s, t ∈ S1, so gibt es eine lineare Isometrie ϕ : V1 → V2 mit ϕ(A1) = A2
und ξ(s) = ϕsϕ−1 für alle s ∈ S1.
Beweis. Wir wählen in V = Vi jeweils einen festen Alkoven A = Ai und
betrachten zu jeder Wand von A den Normalenvektor, der in Richtung von
A zeigt. Wir erhalten so eine Familie (es)s∈S von Einheitsvektoren in V .
Offensichtlich schließen es und et gerade den Winkel π − π/ms,t ein, folglich
haben wir
(es, et) = − cos(π/ms,t)
Nach 7.5.5 sind unsere es linear unabhängig, und da die Spiegelungen an
ihren orthogonalen Komplementen nach 7.3.13 die fraglichen Gruppen erzeugen
und diese fixpunktfrei operieren, besteht der Schnitt der fraglichen
orthogonalen Komplemente nur aus dem Nullvektor und unsere es bilden sogar
eine Basis. Jede Identifikation unserer beiden Coxetergraphen zusammen
mit der Wahl eines Alkoven in beiden Räumen liefert folglich eine Isometrie
ϕ zwischen unseren Vektorräumen, unter der die Wände des in V1 gewählten
Alkoven in die Wände des in V2 gewählten Alkoven übergehen. Da die
orthogonalen Spiegelungen an diesen Wänden aber nach 7.3.13 bereits die
fraglichen Gruppen erzeugen, folgt W2 = ϕW1ϕ −1 .
4
•