Analysis

2. SINGULÄRE STELLEN HOLOMORPHER FUNKTIONEN 1383
Beweis. Entwickeln wir f um ein p ∈ P in seine Laurentreihe
f(z) =
an(z − p) n
n∈Z
und fassen darin alle Terme für n ≤ −2 zusammen zur auf der punktierten
Ebene kompakt konvergenten Reihe hp(z) :=
n≤−2 an(z − p) n , so ist
hp eine wohldefinierte holomorphe Funktion auf C\p und besitzt sogar eine
Stammfunktion, gegeben durch die Reihe
n≤−2 an(z − p) n+1 /(n + 1). Die
Funktion
f(z) −
hp(z) −
p∈P
p∈P
Res(f, p)
z − p
hat nun offensichtlich hebbare Singularitäten bei allen p ∈ P , mithin verschwindet
nach dem Integralsatz von Cauchy 1.4.3 ihr Wegintegral über unseren
in U zusammenziehbaren Weg γ. Da die hp Stammfunktionen haben,
verschwindet auch ihr Wegintegral über den geschlossenen Weg γ. Mit unserer
funktionentheoretischen Beschreibung der Umlaufzahl aus dem Beweis
von 2.2.1 ergibt sich damit
γ
f(z) dz =
Res(f, p)
p∈P
γ
dz
z − p
= 2πi Res(f, p) Um(γ, p)
Übung 2.2.11. Man erkläre, inwiefern Cauchy’s Integralformel 1.6.1 ein Spezialfall
des Residuensatzes ist.
p∈P
2.3 Anwendungen des Residuensatzes
2.3.1. Für jede meromorphe Funktion mit isolierten Nullstellen f erklären
wir ihre logarithmische Ableitung als die meromorphe Funktion
f ′
f
Ist f holomorph und existiert ein Logarithmus von f, also eine Funktion
g mit f(z) = exp g(z), so haben wir f ′ /f = g ′ , daher die Bezeichnung. In
jedem Falle ist die logarithmische Ableitung eines Produkts offensichtlich
die Summe der logarithmischen Ableitungen der Faktoren. Konvergiert weiter
eine Folge holomorpher Funktionen ohne Nullstellen kompakt gegen eine
holomorphe Funktion ohne Nullstelle, so vertauscht das Bilden der logarithmischen
Ableitung mit dem Grenzwert, wie der Leser leicht aus 1.7.5 folgern
kann.