Analysis

2. FOLGEN UND REIHEN 107
2.1.6. Sind a und b konkrete Zahlen, etwa a = 1 und b = 27, so wäre zu
allem Überfluß auch noch eine dritte Lesart von (1, 27) als die in Klammern
notierte Dezimalzahl 1,27 denkbar. Ich hoffe, daß der Leser aus dem Kontext
erschließen kann, was jeweils gemeint ist. Wenn man genau hinguckt, sollte
auch im letzteren Fall der Abstand nach dem Komma etwas kleiner sein.
2.1.7. Ein Intervall in R heißt kompakt genau dann, wenn es eines unserer
[a, b] ist. Der Begriff “kompakt” wird in 3.4.1 auf beliebige Teilmengen von
R verallgemeinert. Ein reelles Intervall heißt offen genau dann, wenn es eines
unserer Intervalle (a, b) ist. Der Begriff “offen” wird in 4.3.1 auf beliebige
Teilmengen von R verallgemeinert. Wir nennen ein reelles Intervall halboffen
genau dann, wenn es nicht aus einem einzigen Punkt besteht, und
verallgemeinern den Begriff “halboffen” in 4.1.1 auf beliebige Teilmengen von
R. In der in diesem Text verwendeten Terminologie sind mithin alle offenen
Intervalle auch halboffen. In der Literatur wird der Begriff halboffen meist
abweichend davon verwendet als Bezeichnung für reelle Intervalle, die weder
offen noch kompakt sind.
Definition 2.1.8. Gegeben ein Punkt x ∈ R vereinbaren wir nun, welche
Teimengen von R wir Umgebungen von x nennen wollen. Wir geben diese
Definition separat für reelle Zahlen und für die beiden Punkte ±∞.
1. Gegeben x ∈ R heißt eine Teilmenge W ⊂ R eine Umgebung von x
genau dann, wenn sie ein Intervall (a, b) umfaßt mit a < x < b.
2. Für x = ∞ heißt eine Teilmenge W ⊂ R eine Umgebung von x genau
dann, wenn sie ein Intervall (a, ∞] umfaßt mit a < ∞.
3. Für x = −∞ heißt eine Teilmenge W ⊂ R eine Umgebung von x
genau dann, wenn sie ein Intervall [−∞, b) umfaßt mit ∞ < b.
2.1.9. Die Aufspaltung der Definition in drei Fälle ist natürlich nicht besonders
befriedigend. Sie ermöglicht es uns jedoch im weiteren Verlauf, viele
noch viel weiter gehende Fallunterscheidungen zu vermeiden.
2.1.10. Gegeben x ∈ R und ε > 0 nennen wir das offene Intervall (x−ε, x+ε)
die ε-Umgebung von x. Eine Umgebung von x ∈ R können wir auch charakterisieren
als eine Teilmenge W ⊂ R, die für mindestens ein reelles ε > 0
das Intervall (x − ε, x + ε) umfaßt, oder äquivalent als eine Teilmenge, die für
mindestens ein reelles ε > 0 das Intervall [x − ε, x + ε] umfaßt. Eine der Motivationen
für unsere großzügige Definition des Umgebungsbegriffs ist, daß er
uns durch seine große Allgemeinheit dazu verhelfen soll, die Diskussion, ja die
bloße Erwähnung derartiger Nebensächlichkeiten weitgehend zu vermeiden.