Analysis

2. NAIVE MENGENLEHRE UND KOMBINATORIK 39
“verschieden groß” sein können, für ein Beispiel siehe II.2.3.6 und für eine genauere
Diskussion des Begriffs der Kardinalität ??. Für endliche Mengen X
ist demnach ihre Kardinalität stets eine natürliche Zahl |X| ∈ N und |X| = 0
ist gleichbedeutend zu X = ∅.
2.1.11. Oft bildet man Mengen als Teilmengen bestehender Mengen. Gebräuchlich
ist dazu die Notation
Y = {x ∈ X | x hat eine gewisse Eigenschaft}
Zum Beispiel gilt N = {a ∈ Z | a ≥ 0} und {0, 1} = {a ∈ N | a 2 = a}.
2.1.12. Bereits an dieser Stelle ist unsere Notation nicht eindeutig: Ich wollte
mit {0, 1} die zweielementige Menge mit den beiden Elementen Null und Eins
andeuten, das könnte jedoch auch als die Menge mit der Dezimalzahl 0,1 als
einzigem Element interpretiert werden. Es wird noch oft vorkommen, daß sich
die Bedeutung einer Formel erst aus dem Kontext erschließt. Im folgenden
werden Kommas fast nie als Kommas einer Dezimalzahl zu verstehen sein.
Beim genauen Hinsehen kann man am Abstand hinter dem Komma erkennen,
wann doch eine Dezimalzahl gemeint ist.
Definition 2.1.13. Es ist auch erlaubt, die “Menge aller Teilmengen” einer
gegebenen Menge X zu bilden. Sie heißt die Potenzmenge von X und wird
mit P(X) bezeichnet.
2.1.14. Ist X eine endliche Menge, so ist auch ihre Potenzmenge endlich und
es gilt |P(X)| = 2 |X| . Für die drei-elementige Menge X = {1, 2, 3} besteht
zum Beispiel P(X) aus 2 3 = 8 Elementen, genauer gilt
P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Definition 2.1.15. Gegeben zwei Mengen X, Y können wir auf verschiedene
Arten neue Mengen bilden:
1. Die Vereinigung X ∪ Y := {z | z ∈ X oder z ∈ Y }, zum Beispiel ist
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
2. Den Schnitt X ∩ Y := {z | z ∈ X und z ∈ Y }, zum Beispiel ist
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}. Zwei Mengen sind also disjunkt genau dann,
wenn ihr Schnitt die leere Menge ist.
3. Die Differenz X\Y := {z ∈ X | z ∈ Y }, zum Beispiel haben wir
{1, 2}\{2, 3} = {1}. Man schreibt statt X\Y auch X − Y . Ist Y eine
Teilmenge von X, so heißt X\Y das Komplement von Y in X.