Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1061
ist eine Projektion auf den Raum der Klassenfunktionen und ist stetig für die
sup-Norm. Folglich liegen die Projektionen der Matrixkoeffizienten dicht im
Raum der Klassenfunktionen. Die Projektion eines Matrixkoeffizienten einer
irreduziblen Darstellung ist jedoch ein Vielfaches ihres Charakters. Dieselbe
Formel definiert auch eine Projektion auf den Raum der L p -Klassenfunktionen,
die stetig ist für die L p -Norm.
Ergänzung 10.10.12. Gegeben eine separable lokal kompakte Hausdorff’sche
Gruppe G und ein kompakter homogener Raum X von G mit invariantem
Maß kann man ähnlich zeigen, daß L 2 (X) eine direkte Summe irreduzibler
Darstellungen von G mit endlichen Vielfachheiten ist. Wieder kommt das
daher, daß die Konvolutionen mit reellen stetigen kompakt getragenen symmetrischen
Funktionen auf G kompakte Operatoren liefern. Mehr dazu in
[?]. Es sollte auch allgemeiner gelten: Für von endlichdimensionalen unitären
Darstellungen unitär induzierte, von einer Untergruppe, die topologisch frei
wirkt mit kompaktem Quotienten.
10.11 Charaktere
10.11.1. Wir erinnern daran, daß wir in ?? für jede endlichdimensionale Darstellung
ρ : G → GL(V ) einer Gruppe G über einem Körper k ihren Charaker
χρ : G → k erklärt hatten durch die Formel
χρ(g) = tr(ρ(g))
und daß wir so eine Klassenfunktion erhalten, also eine Funktion, die konstant
ist auf Konjugationsklassen.
Satz 10.11.2. Gegeben eine kompakte Liegruppe bilden die Charaktere der
einfachen komplexen Darstellungen eine Hilbertbasis des Raums aller quadratintegrierbaren
Klassenfunktionen auf unserer Gruppe.
Beweis. Die Charaktere nichtisomorpher einfacher Darstellungen stehen aufeinander
senkrecht, da das ja nach 10.10.2 bereits die Matrixkoeffizienten tun.
Um zu zeigen, daß sie die Länge 1 haben, sei L eine irreduzible Darstellung
mit invariantem Skalarprodukt, v1, . . . , vd eine Orthonormalbasis von L und
v ∗ 1, . . . , v ∗ d die duale Basis von L∗ , die dann auch eine Orthonormalbasis ist für
das induzierte Skalarprodukt. Dann ist χL das Bild von v ∗ 1 ⊗v1 +. . .+vd ∗⊗vd
unter der Matrixkoeffizientenabbildung, und da dieser Vektor die Länge √ d
hat, hat sein Bild die Länge 1. Unsere irreduziblen Charaktere bilden
also ein Orthonormalsystem und es bleibt zu zeigen, daß sie im Raum der
Klassenfunktionen einen dichten Teilraum aufspannen. Das folgt jedoch aus
10.10.11.