Analysis

928 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Diagramm kommutiert:
U × G
∼
→ π −1 (U)
pr 1 ↓ ↓ π
U = U
Ein Morphismus von G-Torsoren P → Q über einer festen Mannigfaltigkeit
X ist eine glatte G-äquivariante Abbildung über X.
5.8.2. Gegeben ein Liegruppe G ist ein G-Torsor auf einer einpunktigen Mannigfaltigkeit
nichts anderes als ein G-Torsor im Sinne von ??.?? oder genauer
ein G-Rechtstorsor im Sinne von ??. In vielen Quellen bezeichnet man unsere
G-Torsoren auf X auch als G-Hauptfaserbündel auf X, englisch principal
bundle, französische fibré principal.
Beispiel 5.8.3. Gegeben eine Liegruppe G mit einer abgeschlossenen Untergruppe
H ist die Projektion G ↠ G/H ein H-Hauptfaserbündel nach 4.9.3.
Beispiel 5.8.4 (Von Vektorraumbündeln zu Torsoren und zurück).
Gegeben ein glattes n-dimensionales reelles Vektorraumbündel E auf einer
Mannigfaltigkeit X und ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V erklären
wir einen GL(V )-Torsor Y → X, indem wir als Faser Yx bei x ∈ X den
GL(V )-Torsor Yx = Hom ×
R (V, Ex) aller Isomorphismen von V mit der Faser
Ex von E bei x nehmen und mit der durch Vorschalten erklärten Rechtsoperation
von GL(V ) versehen. Die Struktur einer Mannigfaltigkeit auf Y wird
vermittels der Bündelkarten von E in der hoffentlich offensichtlichen Weise
definiert. Wir notieren diesen Torsor
Y = Hom ×
R (V, E)
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum V und ein GL(V )-
Torsor Y → X bilden wir umgekehrt ein n-dimensionales reelles Vektorraumbündel
E als das balancierte Produkt
E = Y ×GL(V ) V
Ergänzung 5.8.5. Man erkennt ohne Schwierigkeiten, daß diese Konstruktionen
sogar eine Äquivalenz von Kategorien liefern zwischen der Kategorie
der n-dimensionalen Vektorraumbündel auf X mit Bündelisomorphismen im
Sinne von 4.4.8.2 als Morphismen und der Kategorie der GL(V )-Torsoren
auf X mit Isomorphismen von Torsoren als Morphismen. Im übrigen zeigt
die Definition unmittelbar, daß jeder Morphismus von Torsoren bereits ein
Isomorphismus ist. Die Automorphismengruppe eines Torsors heißt die Eichgruppe
unseres Torsors.