Analysis

3. SPEKTRALTHEORIE IN HILBERTRÄUMEN 741
3.8 Spektralzerlegung unitärer Darstellungen
Satz 3.8.1 (Spektralzerlegung unitärer Darstellungen). Gegeben ein
Hilbertraum H haben wir eine Bijektion
Auf R definierte Teilungen ∼→ Unitäre Darstellungen
der Identität von H
von R in H
i tx Φ ↦→ ρ : t ↦→ e Φ〈x〉
3.8.2. Gegeben eine unitäre Darstellung (H, ρ) von R gibt es also genau eine
Teilung Φ = Φρ der Identität von H auf R mit
ρ(t) = e i tx Φ〈x〉 ∀t ∈ R
x∈R
Diese Teilung der Identität nennen wir das zu unserer Darstellung gehörige
projektorwertige Maß und die zugehörigen Φ(M) nennen wir Spektralprojektoren.
In der Hoffnung, dadurch die zugrundeliegende Struktur
deutlicher zu machen, formuliere ich auch noch eine koordinatenfreie Variante
des Satzes, deren Beweis dem Leser überlassen sei: Gegeben eine Geradengruppe
G mit Charaktergruppe ˆ G und ein Hilbertraum H haben wir eine
Bijektion
Auf Gˆ definierte Teilungen ∼→ Unitäre Darstellungen
der Identität von H
von G in H
Φ ↦→ ρ : g ↦→ χ(g)Φ〈χ〉
Diese Aussage gilt auch für die additive Gruppe eines beliebigen endlichdimensionalen
reellen Vektorraums, ja sogar für die Gruppen S 1 , Z und in
voller Allgemeinheit für jede “separable lokal kompakte Hausdorff’sche kommutative
topologische Gruppe”, aber in dieser Allgemeinheit werden wir sie
nicht beweisen.
Übung 3.8.3. Gegeben ein Borelmaß µ auf R und die unitäre Darstellung von
R durch Automorphismen von L 2 (R; µ), bei der t ∈ R durch Multiplikation
mit e i tx operiert, ist für das zugehörige projektorwertige Maß Φ der einer
Borelmenge M ⊂ R zugeordnete Projektor Φ(M) gerade die Multiplikation
mit der charakteristischen Funktion [M] von M.
Übung 3.8.4. Betrachten wir auf R das Lebesguemaß dt und die unitäre Darstellung
von R auf H = L 2 (R; dt) durch das Verschieben von Funktionen,
ρ(t)f = τtf, deren Stetigkeit in 1.5.7 gezeigt wurde, so hat für das zugehörige
projektorwertige Maß Φ der einer Borelmenge M ⊂ R zugeordnete
Projektor Φ(M) die Gestalt F ◦ ([M]·) ◦ F −1 für F die wie in 2.1.1 normalisierte
Fouriertransformation.