Analysis

1414 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
nur um das Vorzeichen und um die Reihe
log p
p
p∈P
z log p log p
− =
− 1 pz p
p∈P
p∈P
z (pz − 1)
Diese Reihe konvergiert offensichtlich sogar auf der Halbebene Re(z) > 1
2
kompakt gegen eine holomorphe Funktion. Mit der logarithmischen Ableitung
der ζ-Funktion hat also auch unsere Funktion Φ eine meromorphe Fort-
setzung auf die Halbebene Re(z) > 1
2
mit nur einfachen Polen, die eben bei
z = 1 und an den Nullstellen von ζ liegen und deren Residuum an jeder
Nullstelle der ζ-Funktion aufgrund des Vorzeichenwechsels das Negative der
Nullstellenordnung ist bzw. am einfachen Pol der ζ-Funktion bei z = 1 eine
Eins. Nun beachte man für alle α > 0 und ε > 0 die Ungleichung
0 ≤
p
log p
p 1+ε
p iα/2 + p −iα/2 4 = Φ(1 + ε + 2iα) + 4Φ(1 + ε + iα)
+6Φ(1 + ε)
+4Φ(1 + ε − iα) + Φ(1 + ε − 2iα)
Multiplizieren wir diese Ungleichung mit ε > 0, lassen ε von oben gegen
Null streben und beachten ζ(¯z) = ζ(z), so erhalten wir für µ bzw. ν die
Nullstellenordnungen von ζ an den Stellen 1+iα bzw. 1+2iα die Abschätzung
0 ≤ 6 − 2ν − 8µ. Daraus folgt dann sofort, daß die ζ-Funktion auch keine
Nullstellen mit Realteil Eins haben kann.
4.1.13. Gegeben f : R>0 → C eine beschränkte meßbare Funktion erklärt
man eine holomorphe Funktion auf der Halbebene Re(z) > 0, ihre Laplace-
Transformierte, durch die Vorschrift
∞
F (z) = f(t) e −zt dt
0
Daß diese Funktion tatsächlich holomorph ist, wird der Leser als Übung leicht
zeigen können. Die Laplace-Transformation wird allgemeiner für Borel-Maße
auf R>0 erklärt, die für t → ∞ so langsam dichter werden, daß ihre Transformierte
noch auf einer Halbebene der Form Re(z) > a definiert ist. Sie
ist bei der Lösung von Differentialgleichungen oft hilfreich, da sie diese in
algebraische Gleichungen umwandelt.
Satz 4.1.14 (Taubersatz von Newman). Ist f : [0, ∞) → C beschränkt
und meßbar und läßt sich die Laplace-Transformierte F von f holomorph auf
eine offene Umgebung der abgeschlossenen Halbebene Re(z) ≥ 0 fortsetzen,
so gilt für den Wert bei Null dieser Ausdehnung die Formel
F (0) = lim
T →∞
T
0
f(t) dt