Analysis

1286 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Lemma 4.3.1. Seien X und Y endlichdimensionale reelle Räume, A ⊂◦ X
offen und f : A ↩→ Y eine stetig differenzierbare Injektion, deren Differential
an jeder Stelle ein Isomorphismus ist. So ist f(A) offen in Y und
die Umkehrabbildung f −1 ist differenzierbar und hat bei f(p) das Differential
(dpf) −1 .
Beweis. Als erstes zeigen wir, daß f(A) offen und f −1 : f(A) → A stetig
ist. Dazu müssen wir nach II.6.5.18 nur nachweisen, daß f : A ↩→ Y offene
Mengen zu offenen Mengen macht. Sei dazu D⊂◦ A offen in A. Für jedes p ∈ D
finden wir nach ?? eine offene Teilmenge Ap ⊂◦ D mit p ∈ Ap und f(Ap)
offen. Dann muß auch f(D) offen sein als Vereinigung solcher f(Ap) und
f −1 : f(A) → A ist in der Tat stetig. Um die Differenzierbarkeit von f −1 an
einer Stelle f(p) zu zeigen, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
annehmen, daß unsere Räume Vektorräume sind und daß gilt p = 0 und
f(p) = 0 annehmen. Wir setzen L = d0f und schreiben
f(x) = L(x) + xε(x)
für eine geeignete Abbildung ε : A → Y, die stetig ist bei 0 und die dort
den Wert Null annimmt. Setzen wir hier x = f −1 (y) ein mit y ∈ f(A) und
wenden auf beiden Seiten L −1 an, so ergibt sich
L −1 (y) = f −1 (y) + f −1 (y) L −1 (ε(f −1 (y)))
Nun betrachten die Abbildung k : A → X, g(x) = x−L −1 (f(x)) mit d0k = 0,
und da duk stetig von u ∈ U abhängt, finden wir wieder δ > 0 mit B(0; δ) ⊂ A
und duk ≤ (1/2) für alle u ∈ B(0; δ). Mit IV.1.3.5 folgt für x ∈ B(0; δ) die
Abschätzung
x/2 ≥ k(x) = x − L −1 (f(x)) ≥ x − L −1 f(x)
Daraus folgt L −1 · f(x) ≥ x/2, und wählen wir nun η > 0 mit
B(0; η) ⊂ f(A) und f −1 (B(0; η)) ⊂ B(0; δ), so ergibt sich für y ∈ B(0; η)
die Abschätzung
2L −1 y ≥ f −1 (y)
Damit folgt, daß oben auch der Quotient f −1 (y) L −1 (ε(f −1 (y)))/y des
zweiten Summanden durch y mit y gegen Null strebt, daß also die Umkehrabbildung
f −1 : f(A) → A differenzierbar ist beim Ursprung von Y mit
Differential d0(f −1 ) = L −1 .