Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 203
Ergänzende Übung 4.6.11. Wie könnte ein Autor, der den Zugang 4.6.10 zur
Exponentialfunktion gewählt hat, die Funktionalgleichung 2.6.8 beweisen?
Ergänzende Übung 4.6.12. Man zeige durch Vergleich mit dem Integral der
Funktion x −α , daß für jedes α > 1 die Reihe ∞
k=1 k−α konvergiert.
4.7 Hyperbolische trigonometrische Funktionen
Definition 4.7.1. Der Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus
sind die Abbildungen sinh, cosh : R → R, die gegeben werden durch die
Formeln
sinh x = ex − e −x
2
und cosh x = ex + e −x
4.7.2. Den Graphen des Cosinus hyperbolicus nennt man auch die Kettenlinie,
weil er dieselbe Gestalt hat wie eine hängende Kette. Wir zeigen das
in 7.3.10 im Anschluß an die Diskussion der Bogenlänge.
4.7.3. Offensichtlich gilt sinh(0) = 0, cosh(0) = 1, sinh(−x) = − sinh(x), und
cosh(−x) = cosh(x), die Ableitungen unserer Funktionen sind
sinh ′ = cosh, cosh ′ = sinh
es gelten cosh 2 − sinh 2 = 1 und die Additionstheoreme
sinh(a + b) = sinh(a) cosh(b) + cosh(a) sinh(b)
cosh(a + b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b)
Die Funktion cosh nimmt bei x = 0 ihr Minimum an und sinh ist eine Bijektion
sinh : R → R. Die inverse Abbildung nennt man Area Sinus hyperbolicus
und bezeichnet sie mit arsinh : R → R. Sie läßt sich auch elementar
ausdrücken als arsinh(x) = log(x+ √ x 2 + 1) und für die Ableitung von arsinh
erhalten wir
arsinh ′ 1
(y) =
1 + y2 da ja gilt sinh ′
(x) = cosh(x) = 1 − sinh 2 (x), sinh ′ (arsinh y) = 1 + y2 .
Ähnlich liefert cosh eine Bijektion cosh : [0, ∞) → [1, ∞), die inverse Abbildung
Area Cosinus hyperbolicus arcosh : [1, ∞) → [0, ∞) kann geschrieben
werden als arcosh(x) = log(x + √ x 2 − 1) und ist differenzierbar
auf (1, ∞) mit der Ableitung
arcosh ′ (y) =
1
y 2 − 1
2