Analysis

1. FUNKTIONENRÄUME UND FOURIERREIHEN 657
Übung 1.7.10. Es gibt ein elegantes direktes Argument, das für jeden selbstadjungierten
Operator T auf einem Hilbertraum die Identität
T = sup{|〈T x, x〉| | x ≤ 1}
zeigt: Bezeichnet M die rechte Seite, so ist T ≥ M eh klar. Für die andere
Ungleichung betrachte man für x von der Länge Eins mit T x = 0 sein auf
Länge Eins normiertes Bild y = T x/T x. Dann gilt T x = 〈T x, y〉 =
〈x, T y〉 und man erhält von der Mitte ausgehend
4M = M(x+y 2 +x−y 2 ) ≥ 〈T (x+y), x+y〉−〈T (x−y), x−y〉 = 4T x
Übung 1.7.11. Man zeige: Gegeben eine stetige beschränkte Abbildung von
einem topologischen Raum in einen Hilbertraum f : X → H und ein komplexes
Maß µ ∈ M(X) gibt es genau einen Vektor f(x) µ〈x〉 in H mit
Eigenschaft
w,
f(x) µ〈x〉 =
〈w, f(x)〉 µ〈x〉 ∀w ∈ H
Man zeige weiter, daß dieses Integral f(x) µ〈x〉 linear ist in f und µ.
Hinweis: 1.7.4.
Übung 1.7.12. Man zeige, daß jeder abgeschlossene Teilraum von L 2 (S1 ),
der unter dem Vorschalten aller Multiplikationen (z·) für z ∈ S1 stabil ist,
der Abschluß des Erzeugnisses der in ihm enthaltenen Charaktere sein muß.
Hinweis: Man betrachte die linearen Abbildungen pn : L 2 (S1 ) → L 2 (S1 ) mit
(pn(f))(w) = z n f(zw)µ〈z〉
und überlege sich etwa mit 1.7.11, daß sie auch unsere abgeschlossenen Teilräume
von oben in sich überführen müssen.
Korollar 1.7.13. Jeder Hilbertraum besitzt eine Hilbertbasis.
S 1
Beweis. Nach dem Zorn’schen Lemma finden wir ein bezüglich Inklusion maximales
Orthonormalsystem. Wäre der Abschluß seines Erzeugnisses nicht
der ganze Raum, so könnten wir unser Orthonormalsystem nach 1.7.2 doch
noch vergrößern durch Hinzunahme eines Vektors der Länge Eins aus seinem
orthogonalen Komplement, im Widerspruch zur Maximalität.
1.7.14. Damit ist insbesondere gezeigt, daß sich jeder Hilbertraum schreiben
läßt als ein Raum von quadratintegrierbaren Funktionen, und das sogar auf
einer Menge mit Zählmaß.