Analysis

546 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Aus unseren Annahmen folgt |fn| ≤ g < ∞, also sind die fn
integrierbar. Weiter ist f auch meßbar als punktweiser Grenzwert meßbarer
Funktionen und dann ist mit demselben Argument auch f integrierbar. Um
die Vertauschbarkeit des Grenzwerts mit dem Integral zu zeigen, betrachten
wir nun die Funktionenfolgen
in(x) = inf{fn(x), fn+1(x), . . .}
sn(x) = sup{fn(x), fn+1(x), . . .}
Sie bestehen aus meßbaren Funktionen, beide Folgen konvergieren punktweise
gegen f, und es gilt
−g ≤ i0 ≤ i1 ≤ . . . ≤ f ≤ . . . ≤ s1 ≤ s0 ≤ g
Mit dem Satz über monotone Konvergenz erhalten wir also limn→∞ g+in
=
g + f und limn→∞ g − sn = g − f, also
lim
n→∞
in =
f = lim
n→∞
Da aber nach Definition gilt in ≤ fn ≤ sn, folgt die Behauptung aus dem
Quetschlemma II.2.1.32.
Korollar 6.5.13 (Riemann-Integral als Lebesgue-Integral). Jede stetige
reellwertige Funktion auf einem kompakten reellen Intervall ist integrierbar
im Sinne der vorhergehenden Definition 6.5.1 und ihr Riemann-Integral
stimmt mit ihrem Lebesgue-Integral überein.
Beweis. Jede stetige reellwertige Funktion f auf einem kompakten reellen
Intervall [a, b] ist meßbar und beschränkt. Aus |f| ≤ M folgt dann sofort
|f| ≤ M(b − a) < ∞ und damit die Integrierbarkeit von f. Bilden wir
Stufenfunktionen fr, indem wir [a, b] äquidistant unterteilen durch Zwischenpunkte
a = a0 < a1 < . . . < ar = b und fr auf [ai−1, ai) konstant den
Wert f(ai) geben und bei b den Wert f(b), so konvergieren die fr wegen der
gleichmäßigen Stetigkeit von f punktweise gegen f. Andererseits sind ihre
Integrale offensichtlich genau unsere Riemannsummen S r (f) aus II.3.5.5, in
Formeln S r (f) = fr, und für r → ∞ strebt die linke Seite nach II.3.5.5
gegen das Riemannintegral und die Rechte nach dem Satz über dominierte
Konvergenz 6.5.10 gegen das Lebesgueintegral von f.
Übung 6.5.14 (Vertauschen von Integration und Ableitung). Sei (X, µ)
ein Maßraum und I ⊂ R halboffen und f : X ×I → R eine Abbildung derart,
daß x ↦→ f(x, t) integrierbar ist für alle t ∈ I und t ↦→ f(x, t) differenzierbar
für alle x ∈ X. Existiert eine integrierbare Abbildung g : X → R mit g(x) ≥
sn