Analysis

2. ALGEBRA 1467
11. Wieviele angeordnete Basen hat ein . . .-dimensionaler Vektorraum über
dem Körper mit . . . Elementen?
12. Nimmt die quadratische Form . . . positive und negative Werte an? Wie
findet man so etwas im allgemeinen heraus?
13. Berechnen Sie die inverse Matrix zu . . .
14. Was versteht man unter dem Rang einer Matrix? Warum stimmen Zeilenrang
und Spaltenrang stets überein?
15. Wie hängen die Eigenwerte einer invertierbaren Matrix zusammen mit
den Eigenwerten ihrer Inversen? Wie hängt die Jordan’sche Normalform
einer invertierbaren Matrix zusammen mit der Jordan’schen Normalform
ihrer Inversen?
2 Algebra
1. Gibt es eine Gruppe mit . . . Elementen? Gibt es eine abelsche Gruppe
mit . . . Elementen? Wie konstruiert man überhaupt so eine Restklassengruppe?
Was ist das Inverse zu . . . in Z/aZ? Wieviele paarweise
nicht isomorphe abelsche Gruppen gibt es mit . . . Elementen? Welche?
2. Wieviele Gruppenhomomorphismen gibt es von Z/4Z nach Z/6Z?
3. Wieviele Elemente hat GL(3; F7)? Wie größ ist die 7-Sylow darin? Können
Sie eine 7-Sylow angeben?
4. Hat jedes Polynom eine Nullstelle? Kann man den Grundkörper so
vergrößern, daß es eine kriegt? Wie geht das?
5. Gegeben sei das Polynom . . . Was ist die Summe seiner komplexen
Nullstellen? Die Summe der Quadrate seiner komplexen Nullstellen?
6. Ist das Polynom . . . irreduzibel? Was ist ein irreduzibles Polynom? Inwieweit
ist die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren eindeutig?
Warum? Welche Grade können irreduzible Polynome in R[X]
haben? Zerlegen Sie X 4 + 2 in R[X] in Linearfaktoren.
7. Wieviele Nullstellen kann das Polynom . . . höchstens haben? Warum?
Gibt es zu vorgegebenen Nullstellen stets ein Polynom, das genau diese
Nullstellen hat? Warum-warum nicht?