Analysis

3. ERGÄNZUNGEN ZUR TOPOLOGIE 825
Ergänzende Übung 3.1.12. Man zeige, daß bei für jede konvexe Teilmenge
C ⊂ R n , die ganz R n als affinen Raum erzeugt, bereits gilt ¯ C = C ◦ .
3.2 Topologische Mannigfaltigkeiten
Definition 3.2.1. Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt
ein Homöomorphismus oder auch eine topologische Abbildung genau
dann, wenn sie stetig und bijektiv ist und zusätzlich die inverse Abbildung
auch stetig ist. Zwei topologische Räume heißen homöomorph genau dann,
wenn es zwischen ihnen einen Homöomophismus gibt. In Formeln schreiben
wir dann X ∼ = Y .
Übung 3.2.2. Ist ein R n homöomorph zur reellen Geraden R, so folgt n = 1.
In Formeln gilt also R n ∼ = R ⇒ n = 1. Hinweis: Das Komplement eines
beliebigen Punktes in R ist nicht wegzusammenhängend.
Übung 3.2.3. Je zwei nichtleere offene konvexe Teilmengen des R n sind homömorph.
Sind unsere Mengen zusätzlich beschränkt, so gibt es sogar einen
Homöomorphismus zwischen ihren Abschlüssen, der Homöomorphismen zwischen
ihren Rändern induziert.
Definition 3.2.4. Eine stetige Abbildung topologischer Räume heißt eine
topologische Einbettung oder kürzer Einbettung genau dann, wenn sie
einen Homöomorphismus mit ihrem Bild induziert, für die induzierte Topologie
auf besagtem Bild.
Übung 3.2.5. Man zeige, daß die Verknüpfung von zwei Einbettungen stets
wieder eine Einbettung ist.
3.2.6. Wir erinnern daran, daß ein topologischer Raum X Hausdorff heißt
genau dann, wenn je zwei verschiedene Punkte darin disjunkte Umgebungen
besitzen. Gleichbedeutend wird auch die Bezeichnung separiert verwendet.
Beispiel 3.2.7. Jeder metrische Raum ist Hausdorff. Die Klumpentopologie
auf einer Menge mit mindestens zwei Elementen ist nicht Hausdorff. Die
koendliche Topologie auf einer unendlichen Menge ist nicht Hausdorff.
Definition 3.2.8. Eine d-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit
ohne Rand oder kurz d-Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Hausdorffraum
X derart, daß gilt: Jeder Punkt p ∈ X besitzt eine offene Umgebung,
die homöomorph ist zu einer offenen Teilmenge des R d .
3.2.9. Viele Autoren fordern von einer Mannigfaltigkeit zusätzlich, daß sie
“parakompakt” sein soll, oder sogar noch stärker, daß ihre Topologie “eine
abzählbare Basis” haben soll. Wir werden solche Bedingungen stets explizit
erwähnen, bis jetzt sind sie für uns belanglos.