Analysis

8. WURZELSYSTEME 1025
4. Jeder Basis des dualen Wurzelsystems ordnet man als Kammer den
Schnitt derjenigen Halbräume zu, auf denen alle Elemente besagter Basis
positive Werte annehmen.
5. Jeder Menge von Wurzeln ordnen die beiden unteren horizontalen Pfeile
die Menge der zugehörigen Kowurzeln zu.
6. Jeder Kammer in 〈R〉 ∗ Q
nem und jedem Isomorphismus 〈R〉 ∗ Q
ordnet die obere Horizontale ihr Bild unter ei-
∼
→ 〈R〉Q zu, der von einem weylgruppeninvarianten
Skalarprodukt induziert wird.
Beweis. Nur bei den Abbildungen 1 und 6 scheint mir a priori klar, daß sie
überhaupt im behaupteten Wertebereich landen. Als nächstes überlegen wir
uns das für die in 3 gegebene Abbildung und zeigen dabei insbesondere, daß
jedes Wurzelsystem überhaupt Basen besitzt. Wir geben unserer Abbildung
den Namen Φ, in Formeln gilt für jede Weylkammer A ⊂ 〈R〉Q also
Φ(A) = {α ∨ ∈ R ∨ | (ker α ∨ ) ∈ HA, 〈A, α ∨ 〉 ⊂ Q>0}
Nach 7.5.5 ist Φ(A) eine linear unabhängige Teilmenge von 〈R〉 ∗ Q und dann
nach 8.1.6.3 auch von V ∗ . Nach 7.3.13 erzeugen weiter die Spiegelungen sα
an den Wänden einer Kammer die gesamte Weylgruppe, nach 8.1.8 ist demnach
der Schnitt dieser Wände alias der Schnitt der Kerne der zugehörigen
Kowurzeln der Nullraum, folglich bilden die fraglichen Kowurzeln sogar eine
Basis von V ∗ und Φ(A) erfüllt die erste Bedingung an eine Basis eines
Wurzelsystems. Stellen wir nun β∨ ∈ R∨ dar als Linearkombination
β ∨ =
α∈Φ(A)
nαβα ∨
so liegen sicher alle nαβ in Q und haben sogar alle dasselbe Vorzeichen, da
unsere Kowurzel β∨ auf dem Abschluß der Kammer Ā und insbesondere auf
den Vektoren der zu Φ(A) dualen Basis des Vektorraums 〈R〉Q keine Werte
mit verschiedenen Vorzeichen annehmen darf. Es bleibt damit nur noch zu
zeigen, daß hier alle nαβ in Z liegen. Da aber alle Alkoven in 〈R〉Q konjugiert
sind zu A unter W , ist auch jede Spiegelebene konjugiert zu einer Wand von
A und damit jede Kowurzel zu einer Kowurzel aus Φ(A), in Formeln R ∨ =
W Φ(A). Die von Φ(A) in 〈R ∨ 〉Q erzeugte Untergruppe 〈Φ(A)〉 = 〈Φ(A)〉Z ist
aber offensichtlich stabil unter W und wir folgern R ∨ ⊂ 〈Φ(A)〉. Unser Φ(A)
ist also tatsächlich eine Basis von R ∨ . Wir geben nun der Abbildung 4 in die
andere Richtung den Namen C, in Formeln gilt für eine Basis Π ∨ von R ∨
also
C(Π ∨ ) = {λ ∈ 〈R〉Q | 〈λ, α ∨ 〉 > 0 ∀α ∨ ∈ Π ∨ }