Analysis

1028 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Übung 8.3.12. Gegeben ein Wurzelsystem R über einem angeordneten Körper
mit einem System positiver Wurzeln R + gibt es für seine affine Weylgruppe
genau einen Alkoven, der in der dominanten Kammer enthalten ist und in
dessen Abschluß der Ursprung liegt. Er heißt der fundamentale dominante
Alkoven. Alle Wände der dominanten Weylkammer sind auch Wände des
fundamentalen dominanten Alkoven.
8.4 Unzerlegbare Wurzelsysteme
Definition 8.4.1. Zwei Wurzelsysteme R ⊂ V und R ′ ⊂ V ′ über einem
Körper k heißen isomorph und wir schreiben R ∼ = R ′ genau dann, wenn es
einen Isomorphismus von Vektorräumen ϕ : V ∼ → V ′ gibt mit ϕ(R) = R ′ .
Definition 8.4.2. Sind R1 ⊂ V1 und R2 ⊂ V2 Wurzelsysteme über demselben
Körper, so definieren wir ihre Summe R1 ⊕ R2 ⊂ V1 ⊕ V2 als
R1 ⊕ R2 := R1 × {0} ∪ {0} × R2
Die Summe zweier Wurzelsysteme ist natürlich wieder ein Wurzelsystem. Ein
Wurzelsystem heißt unzerlegbar, falls es weder leer ist noch isomorph zu
einer Summe von zwei nichtleeren Wurzelsystemen.
Proposition 8.4.3. Ist R ⊂ V ein Wurzelsystem, so gibt es genau eine Partition
R = R1⊔. . .⊔Rn derart, daß Ri jeweils ein unzerlegbares Wurzelsystem
in dem von ihm erzeugten Untervektorraum Vi ⊂ V ist und daß die Addition
∼
einen Isomorphismus V1 ⊕ . . . ⊕ Vn → V liefert mit
R1 ⊕ . . . ⊕ Rn
∼
→ R
Beweis. Sei die kleinste Äquivalenzrelation auf der Menge R mit der Eigenschaft
〈α, β ∨ 〉 = 0 ⇒ α β. Unter dieser Äquivalenzrelation zerlegt man
nun R in Äquivalenzklassen R = R1 ⊔ . . . ⊔ Rn. Der Rest des Beweises bleibt
dem Leser überlassen.
Definition 8.4.4. Gegeben V ⊃ R ⊃ R + ein Vektorraum mit einem Wurzelsystem
und einem System positiver Wurzeln definieren wir eine partielle Ordnung
≥ auf V durch die Vorschrift µ ≥ λ genau dann, wenn gilt µ ∈ λ+|R + 〉
für |R + 〉 das von R + erzeugte Untermonoid von V .
Proposition 8.4.5. Gegeben R ⊃ R + ein unzerlegbares Wurzelsystem mit
einem System positiver Wurzeln gibt es in R stets eine höchste Wurzel,
als da heißt, eine Wurzel γ ∈ R mit γ ≥ α ∀α ∈ R.