Analysis

540 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Wir konstruieren ϕn zum Beispiel wie folgt: Sei 0 = a0 < a1 < . . . <
ar = n die äquidistante Einteilung von [0, n] in Stücke der Länge 2 −n , also
r = n2 n und ai = i2 −n . Wir setzen Ai = f −1 [ai, ai+1) für 0 ≤ i < r sowie
Ar = f −1 [n, ∞] und bilden ϕn = r
i=0 ai[Ai]. Es ist offensichtlich, daß wir so
eine monotone Folge von Stufenfunktionen erhalten, die punktweise gegen f
konvergiert.
Jetzt schreiben wir f und g als punktweise Grenzwerte von monotonen Folgen
meßbarer Stufenfunktionen, 0 ≤ ϕ0 ≤ ϕ1 ≤ . . . und 0 ≤ ψ0 ≤ ψ1 ≤ . . ., und
folgern mit dem Satz 6.4.9 über monotone Konvergenz
f + g = lim
n→∞
ϕn + ψn = lim
n→∞
ϕn + lim
n→∞
ψn =
f +
Übung 6.4.13. Sei (X, M ∗ , µ ∗ ) ein Maßraum, M ⊂ M ∗ eine σ-Unteralgebra
und µ = µ ∗ |M das darauf induzierte Maß. Man zeige: Für jede bezüglich M
meßbare Funktion f : X → [0, ∞] gilt fµ = fµ ∗ .
Übung 6.4.14. Sei (X, M) ein Meßraum. Man zeige: Die Summe zweier Maße
µ, ν auf M ist wieder ein Maß µ + ν auf M und für jede meßbare Funktion
f : X → [0, ∞] gilt f(µ + ν) = fµ + fν.
6.4.15 (Restriktion von Maßen). Ist (X, M, µ) ein Maßraum und A ⊂
X eine meßbare Teilmenge, so erhalten wir in offensichtlicher Weise einen
weiteren Maßraum (A, M|A, µ|A). Meist kürzen wir die Restriktion µ|A von
unserem Maß auf die induzierte σ-Algebra M|A = {B ∈ M | B ⊂ A} mit
µ ab. Integrale in Bezug auf diesen Maßraum notieren wir
fµ oder auch
A
f. Ist f : X → [0, ∞] meßbar, so haben wir offensichtlich
A
A
f =
X
[A]f
wobei links das Integral der Restriktion von f auf A gemeint ist und rechts
das Integral des Produkts von f mit der charakteristischen Funktion von A,
gebildet mit der Konvention 0 · ∞ = 0.
Ergänzung 6.4.16. Ich habe nicht durchdacht, ob für j : A ↩→ X eine injektive
meßbare Abbildung von Meßräumen mit der Eigenschaft, daß die Bilder
meßbarer Mengen wieder meßbar sind, die Notation j ! µ für das vermittels
j eingeschränkte Maß sinnvoll sein könnte. Es ist ja schon so, daß derartige
Abbildungen das meßbare Analogon von étalen Abbildungen sind, und
in kartesischen Diagrammen in der Kategorie der Meßräume gilt durchaus
ψ∗j ! µ = i ! φ∗µ.
g