Analysis

1036 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Definition 10.2.2. Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum
V und ein GL(V )-Hauptfaserbündel Y → X bilden wir umgekehrt ein ndimensionales
reelles Vektorraumbündel E als das balancierte Produkt
E = Y ×GL(V ) V
10.2.3. Man erkennt ohne Schwierigkeiten, daß diese Konstruktionen sogar eine
Äquivalenz von Kategorien liefern zwischen der Kategorie der n-dimensionalen
Vektorraumbündel auf X mit Bündelisomorphismen als Morphismen und
der Kategorie der GL(V )-Hauptfaserbündel auf X mit Isomorphismen von
Hauptfaserbündeln als Morphismen.
10.2.4. Ist X eine Mannigfaltigkeit, so erhalten wir in derselben Weise eine
Äquivalenz von Kategorien zwischen der Kategorie der n-dimensionalen glatten
reellen Vektorraumbündel auf X und der Kategorie der glatten GL(V )-
Hauptfaserbündel auf X.
Definition 10.2.5. Gegeben ein topologischer Raum X und eine topologische
Gruppe G und ein G-Hauptfaserbündel Y → X und eine stetige reelle
endlichdimensionale Darstellung ρ : G → GL(F ) erklären wir ein Vektorraumbündel
als das balancierte Produkt
Y ×G F
in hoffentlich selbsterklärender Weise. Ist G eine Liegruppe und X eine Mannigfaltigkeit
und Y → X ein glattes G-Hauptfaserbündel, so erhalten wir in
derselben Weise ein glattes Vektorraumbündel.
Beispiel 10.2.6. Gegeben eine glatte n-Mannigfaltigkeit X liefert das Tangentialbündel
TX mit 5.8.15 ein GL(n; R)-Hauptfaserbündel Y → X. Verschiedene
Darstellungen von GL(n; R) führen dann mit 5.8.19 zu weiteren Vektorraumbündeln.
In diesem Kontext übliche Bezeichnungsweisen für gewisse so
entstehende Bündel und ihre Schnitte faßt die folgende Tabelle zusammen.
ρ F Y ×G F Vektorbündel Schnitt
det −1
Rn TX Tangentialbündel Vektorfeld
(Rn ) ∗ T ∗ k(Rn ∗ )
X Kotangentialbündel Kovektorfeld
k ∗
T X k-Form
R
n T ∗ X Determinantenbündel Volumenform
| det | −1 R Dichtebündel Dichte
| det | −1
R Halbdichte