Analysis

234 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Definition 6.2.16. Gegeben metrische Räume (Xi, di) für 1 ≤ i ≤ n machen
wir das Produkt X = X1 × . . . × Xn zu einem metrischen Raum durch
die Produktmetrik, indem wir für x = (x1, . . . , xn) und y = (y1, . . . , yn)
vereinbaren
d(x, y) = sup di(xi, yi)
1≤i≤n
Beispiel 6.2.17. Der Betragsabstand auf R n+m ist die Produktmetrik zu den
Betragsabständen auf R n und R m .
Proposition 6.2.18 (Komponentenregel). Seien Z und X1, . . . , Xn metrische
Räume und fi : Z → Xi Abbildungen. Genau dann ist die Abbildung
f = (f1, . . . , fn) : Z → X1 × . . . × Xn stetig, wenn alle fi stetig sind.
6.2.19. Wenden wir diese Proposition an mit f der Identität auf einem Produkt,
so impliziert die Stetigkeit der Identität, daß alle Projektionsabbildungen
pr i : X1 × . . . × Xn → Xi stetig sein müssen.
Beweis. Da die Projektionen pr i Abstände zwischen Punkten nie vergrößern,
können wir ihre Stetigkeit direkt zeigen, “indem wir jeweils δ = ε nehmen”.
Ist f stetig, so sind folglich auch die fi = pr i ◦f stetig als Verknüpfungen
stetiger Abbildungen. Sind umgekehrt alle fi stetig in p, so gibt es für jedes
ε > 0 gewisse δi mit d(p, z) < δi ⇒ di(fi(p), fi(z)) < ε, wo di die Metrik auf
Xi bezeichnet. Nehmen wir δ = inf δi, so gilt
d(p, z) < δ ⇒ d(f(p), f(z)) < ε
und das ist gleichbedeutend zu f(B(p; δ)) ⊂ B(f(p); ε).
Korollar 6.2.20 (Summen und Produkte stetiger Abbildungen sind
stetig). Ist X ein metrischer Raum und sind f, g stetige Abbildungen X →
R, so sind auch f + g und fg stetige Abbildungen X → R.
Beweis. Wir schreiben f + g bzw. fg als die Verknüpfung der nach 6.2.18
stetigen Abbildung X → R 2 , x ↦→ (f(x), g(x)) mit der nach 6.2.13 stetigen
Addition bzw. Multiplikation R 2 → R.
Beispiel 6.2.21. Die Abbildung f : R 2 → R 2 gegeben durch die Vorschrift
(x, y) ↦→ (x sinh(y), x 2 y 3 )
ist stetig. In der Tat reicht es nach der Komponentenregel zu zeigen, daß ihre
beiden Komponenten f1 und f2 stetig sind. Wir zeigen das nur für die erste
Komponente und überlassen die Behandlung der zweiten Komponente dem
Leser. Warum also ist die Abbildung f1 : R 2 → R, (x, y) ↦→ x sinh(y) stetig?