Analysis

956 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
der Bemerkung zu Schluß des Beweises von Teil 1 dieselbe Liealgebra hat wie
die a priori größere Gruppe ZG(S) und folglich s in ZG(ker α) = ZG(S) repräsentiert
wird. Die Abbildung X(T ) → X(T ), λ ↦→ (λ − sλ) faktorisiert somit
über Zα und liefert daher einen Gruppenhomomorphismus α ∨ : X(T ) → Z
mit 〈α, α ∨ 〉 = 2 und α ∨ ◦ s = −α ∨ . Die Abbildung λ ↦→ λ − 〈λ, α ∨ 〉α ist also
auf Zα die Multiplikation mit (−1) und auf der Fixpunktmenge von s die
Identität und muß folglich mit s übereinstimmen.
Beispiel 6.4.19. Im Fall G = U(n) und T den Diagonalmatrizen und α =
εi − εj wird S = ker α die Gruppe der unitären Diagonalmatrizen, die an der
i-ten Stelle denselben Eintrag haben wie an der j-ten Stelle. Der Zentralisator
dieser Untergruppe besteht aus allen unitären Matrizen, die höchstens auf
der Diagonalen und an den Stellen mit Indizes (i, j) oder (j, i) von Null
verschiedene Einträge haben. Man kann damit leicht einen Isomorphismus
SU(2)/{± id} ∼ → ZG(S)/S angeben.
Übung 6.4.20. Ein Element eines maximalen Torus in einer kompakten Liegruppe
liegt in keinem anderen maximalen Torus genau dann, wenn es im
Kern keiner Wurzel liegt.
Übung 6.4.21. Ein Element eines maximalen Torus in einer zusammenhängenden
kompakten Liegruppe liegt im Zentrum genau dann, wenn es im Kern
jeder Wurzel liegt.
6.4.22. Seien G ⊃ T eine zusammenhängende kompakte Liegruppe mit einem
maximalen Torus. Die vorhergehende Übung 6.4.21 liefert uns eine linksexakte
Sequenz Z(G) ↩→ T →
α∈R S1 mit dem Auswerten aller Wurzeln als
rechtem Pfeil. Gehen wir zu den Charaktergruppen über, so erhalten wir mit
4.11.5 eine exakte Sequenz
〈R〉 ↩→ X(T ) ↠ X(Z(G))
Genau dann hat also unsere Gruppe G triviales Zentrum, wenn die Wurzeln
die Charaktergruppe des maximalen Torus erzeugen, und genau dann ist das
Zentrum diskret, wenn das von den Wurzeln erzeugte Gitter endlichen Index
in der Charaktergruppe hat.
Ergänzung 6.4.23 (Rang-Eins-Untergruppen zu Wurzeln). Ist G ⊃ T
eine zusammenhängende kompakte Liegruppe mit einem maximalem Torus,
so gibt es für jede Wurzel α ∈ R(G, T ) genau eine zusammenhängende abgeschlossene
Untergruppe Gα vom Rang Eins mit LieC(Gα) ⊃ (LieC G) α . Wir
zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Gegeben so ein Gα ist sicher LieC(Gα) stabil
unter der komplexen Konjugation und muß folglich mit (LieC G) α auch
(LieC G) −α enthalten und damit die von beiden Räumen erzeugte Unteralgebra,
die wir mit gα bezeichnen. Diese Unteralgebra ist nach 6.4.18.1 von