Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 815
wobei χ wie angedeutet über alle Charaktere von T alias alle stetigen Gruppenhomomorphismen
T → C × läuft und Vχ beschrieben werden kann als
Vχ := {v ∈ V | tv = χ(t)v ∀t ∈ T }
Insbesondere im Fall eines Torus T heißen die χ ∈ X(T ) mit Vχ = 0 die
Gewichte von T in V und werden nach französisch poids auch notiert in
der Form
P (V ) = PT (V ) := {χ ∈ X(T ) | Vχ = 0}
Die isotypischen Komponenten Vχ ihrerseits heißen, immer noch im Fall der
Darstellungen einer kompakten abelschen Liegruppe, die Gewichtsräume
unserer Darstellung.
Übung 2.4.13. Jede endlichdimensionale komplexe einfache Darstellung der
Drehgruppe hat unter der Einschränkung auf die Gruppe der Drehungen um
eine feste Achse isotypische Komponenten der Dimension höchstens Eins, und
die zu den Komponenten der Dimension Eins gehörigen Parameter bilden in
Z ein Intervall mit Zentrum im Ursprung, in Formeln
dimC Hom S1
C (χn, L(m)) =
1 |n| ≤ m/2;
0 sonst.
Satz 2.4.14 (Kanonische Zerlegung). Seien G eine kompakte Matrix-Liegruppe
und irr G ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen komplexer
einfacher Darstellungen von G. So liefert für jede komplexe endlichdimensionale
Darstellung V von G das Auswerten einen Isomorphismus
L ⊗C Hom G C(L, V ) ∼ → V
L∈irr G
2.4.15. Unter diesem Isomorphismus entspricht L ⊗C Hom G C(L, V ) gerade der
L-isotypischen Komponente VL von V aus 2.4.10.
Beweis. Gilt der Satz für zwei Darstellungen V und W , so offensichtlich
auch für ihre Summe V ⊕W . Da nach 2.3.1 unsere Darstellung in eine direkte
Summe einfacher Unterdarstellungen zerfällt, müssen wir ihn damit nur noch
für V einfach zeigen. In diesem Fall folgt er aber aus der Schur’schen Lemma
2.4.1.
Übung 2.4.16. Gegeben eine endlichdimensionale unitäre Darstellung V einer
Liegruppe G gilt für die abgeleitete Darstellung der Liealgebra g die Identität
〈xv, w〉 + 〈v, xw〉 = 0 ∀x ∈ g, v, w ∈ V