Analysis

386 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
für eine Funktion ε mit limh→0 ε(h) = 0. Wir behandeln nun als erstes den Fall
q positiv definit. Sei a das Minimum nach II.6.7.11 von q auf der Oberfläche
des Einheitswürfels, a = inf{q(h) | |h| = 1}. Aus unserer Annahme folgt
a > 0. Offensichtlich gilt q(h) ≥ a|h| 2 für alle h ∈ R n . Wegen limh→0 ε(h) = 0
finden wir δ > 0 derart, daß aus |h| < δ folgt |ε(h)| ≤ a/2. Damit ergibt sich
für |h| < δ aber
f(p + h) ≥ f(p) + (a/2)|h| 2
und f hat in der Tat ein isoliertes lokales Minimum. Ist q negativ definit, so
argumentieren wir entsprechend. Ist q indefinit, so finden wir zwei Geraden
durch Null derart, daß die Einschränkung von q auf diese Geraden außerhalb
des Nullpunkts positiv bzw. negativ ist. Dann muß aber die Restriktion von f
auf die erste Gerade ein isoliertes lokales Minimum haben bei p, und auf der
zweiten Geraden ein isoliertes lokales Maximum. Folglich hat f bei p weder
ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum.
Übung 2.4.12. Man zeige in der Situation des Satzes: Ist q positiv semidefinit
und verschieden von Null, so kann f bei p kein lokales Maximum haben.
2.4.13. Jeder quadratischen Form q(x1, . . . , xn) = n
i,j=1 aijxixj ordnen wir
die symmetrische Matrix M(q) zu mit Einträgen (aij + aji)/2. Nach den
Definitionen hat die quadratische Form q eine gewisse Definitheit im Sinne
unserer Definition 2.4.8 genau dann, wenn ihre Matrix die entsprechende
Definitheit hat im Sinne der linearen Algebra.
Definition 2.4.14. Die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen, die zum
Doppelten der quadratischen Form q aus unserem Satz gehört, heißt die
Hesse-Matrix H(f) von f, in Formeln
2 n
∂ f
H(f) =
∂xi∂xj
i,j=1
Korollar 2.4.15 (Maxima, Minima und Hesse-Matrix). Sei A ⊂◦ R n
offen, f : A → R zweimal stetig partiell differenzierbar und p ∈ A ein
kritischer Punkt.
1. Ist die Hesse-Matrix von f bei p positiv definit, so hat f bei p ein
isoliertes lokales Minimum.
2. Ist die Hesse-Matrix von f bei p negativ definit, ein isoliertes lokales
Maximum.
3. Ist die Hesse-Matrix von f bei p indefinit, so hat f bei p weder ein
lokales Minimum noch ein lokales Maximum.