Analysis

1466 KAPITEL IX. TYPISCHE PRÜFUNGSFRAGEN
1 Lineare Algebra
1. Was ist ein Körper? Wie leitet man die Regel für das Addieren von
Brüchen aus den Körperaxiomen ab?
2. Was ist eine Basis eines Vektorraums? Könnte es passieren, daß ich in
demselben Vektorraum eine Basis mit 13 Elementen und eine mit 17
Elementen finde? Was ist die Dimension eines Vektorraums? Hat jeder
Vektorraum eine Basis? Was ist überhaupt ein Vektorraum? Wie leitet
man 0v = 0 aus den Vektorraumaxiomen ab?
3. Warum ist jedes unverkürzbare Erzeugendensystem eine Basis? Warum
ist jede unverlängerbare linear unabhängige Teilmenge eine Basis?
4. Wie versieht man die Menge der Homomorphismen von einem Vektorraum
zu einem anderen mit der Struktur eines Vektorraums? Wie
berechnet man die Dimension eines derartigen Raums von Homomorphismen?
5. Was ist die Matrix einer ebenen Drehung um 45 ◦ ? Was ist ihre Determinante?
Ihre Eigenwerte?
6. Geben Sie eine (3 × 3)-Matrix vom Rang . . . ohne Nullen an. Was
ist deren Determinante? Was ist die Lösungsmenge des zugehörigen
Gleichungssystems? Was sind die Eigenwerte?
7. Was ist die Determinante einer Matrix? Wie rechnet man sie aus?
Warum hat die transponierte Matrix dieselbe Determinante? Warum
ist jede Matrix mit von Null verschiedener Determinante invertierbar?
8. Besitzt jede Matrix einen Eigenwert? Ist jede Matrix diagonalisierbar?
Beispiel? Gegenbeispiel? Ist jede relle symmetrische Matrix diagonalisierbar?
Beweis?
9. Was ist ein Eigenwert einer linearen Abbildung? Welche Eigenwerte hat
das Ableiten, aufgefaßt als lineare Abbildung vom Raum der beliebig
oft differenzierbaren reellen Funktionen auf der reellen Zahlengeraden
C ∞ R
(R) in sich selbst? Welche Eigenwerte hat das Ableiten aufgefaßt
als lineare Abildung vom Raum der Polynome in sich selbst? Was sind
die Eigenräume? Und wenn man Koeffizienten in einem Körper der
Charakteristik . . . nimmt?
10. Wieviele Untervektorräume hat ein . . .-dimensionaler Vektorraum über
dem Körper mit . . . Elementen?