Analysis

130 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
nicht auf der reellen Achse liegen, Realteil 1/2 haben müssen. Ein Beweis
dieser Vermutung hätte weitreichende Konsequenzen für unser Verständnis
der Verteilung der Primzahlen, wie der Beweis des Primzahlsatzes VIII.4.1.1
illustriert. Die Riemann’sche Vermutung ist übrigends der Kern des achten
Hilbert’schen Problems.
Definition 2.5.13. Wir sagen, eine Reihe ∞
k=0 ak konvergiere absolut
genau dann, wenn die Reihe der Absolutbeträge ihrer Reihenglieder konvergiert,
in Formeln ∞
k=0 |ak| < ∞.
Beispiel 2.5.14. Die sogenannte alternierende harmonische Reihe
∞
k+1 1 1 1 1
(−1) = 1 − + − + . . .
k 2 3 4
k=1
konvergiert, aber nicht absolut. Daß die Reihe nicht absolut konvergiert, hatten
wir schon in 2.5.11 gesehen. Um zu zeigen, daß unsere Reihe dennoch
konvergiert, beachten wir, daß für die Folge sn der Partialsummen gilt
s2 ≤ s4 ≤ s6 ≤ . . . s5 ≤ s3 ≤ s1
Folglich existiert S = sup{s2, s4, . . .}. Da aber gilt s2k ≤ S ≤ s2k+1 für alle k
erhalten wir |S − sn| ≤ 1
n und folglich limn→∞ sn = S. Wir werden in 5.4.1
sehen, daß genauer gilt 1 − 1 1 1 + − + . . . = log 2.
2 3 4
Übung 2.5.15. Man zeige das Leibniz’sche Konvergenzkriterium: Ist ak
eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die Reihe ∞ k=0 (−1)kak. Satz 2.5.16. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.
Beweis. Sei ∞ k=0 ak unsere absolut konvergente Reihe. Seien
n
n
sn = ak, Sn = |ak|
k=0
die Partialsummen der Reihe selbst und der Reihe der Absolutbeträge. Nach
Annahme konvergiert die Folge der Sn in R und ist also eine Cauchy-Folge.
Da aber gilt |sn − sm| = | n k=m+1 ak| ≤ n k=m+1 |ak| = Sn − Sm ∀n > m,
ist dann auch sn eine Cauchy-Folge und konvergiert in R nach 2.2.11.
Satz 2.5.17 (Umordnungssatz). Ist ∞ k=0 ak eine absolut konvergente Reihe
und u : N → N eine Bijektion, so ist auch ∞ k=0 au(k) eine absolut konvergente
Reihe und es gilt
∞
∞
au(k) =
k=0
k=0
k=0
ak