Analysis

5. UNAUSGEGORENES ZUR FUNKTIONENTHEORIE 1431
Definition 5.1.7. Eine stetige Abbildung f : X → Y von zweidimensionalen
topologischen Mannigfaltigkeiten heißt verzweigt étale genau dann, wenn
für jeden Punkt x ∈ X die Abbildung f : (X, x) → (Y, f(x)) für ein n ∈ N≥1
lokal isomorph ist zur Abbildung von punktierten Räumen (C, 0) → (C, 0),
z ↦→ z n .
5.1.8. Die Zahl n wird hier durch x bereits eindeutig festgelegt: Wir können
nämlich n charakterisieren durch die Eigenschaft, daß es eine Umgebung
V von x gibt derart, daß f auf V \x jeden Wert genau n-mal annimmt.
Diese Zahl n = n(x) heißt der Verzweigungsgrad unserer verzweigt étalen
Abbildung bei x.
5.1.9. Ein Morphismus von Riemann’schen Flächen, der auf keiner Zusammenhangskomponente
konstant ist, ist nach 1.8.14 stets verzweigt étale.
Übung 5.1.10. Ist Y eine Riemann’sche Fläche und X ein Hausdorffraum
und p : X → Y verzweigt étale, so gibt es auf X genau eine Struktur als
Riemann’sche Fläche derart, daß p für diese Struktur ein Morphismus von
Riemann’schen Flächen wird. Hinweis: Der Riemann’sche Hebbarkeitssatz
2.1.3 mag hilfreich sein.
Definition 5.1.11. Eine stetige Abbildung p : X → Y von zweidimensionalen
topologischen Mannigfaltigkeiten heißt eine verzweigte Überlagerung
genau dann, wenn für jeden Punkt y ∈ Y eine offene Umgebung U existiert
derart, daß es für alle x ∈ p −1 (y) ein n(x) ∈ N≥1 und ein kommutatives
Diagramm von punktierten Räumen
z
∈ (C, 0)
zn(x) ∈ (C, 0)
−1 (p (U), x)
∼
p
(U, y)
gibt, dessen untere Horizontale ein Homöomorphismus ist und dessen obere
Horizontale offen ist und einen Homöomorphismus von C mit der Zusammenhangskomponente
von x in p −1 (U) induziert.
5.1.12. Eine verzweigt étale Abbildung ist nicht immer étale im Sinne von
?? und eine verzweigte Überlagerung ist nicht immer eine Überlagerung im
Sinne von ??. Jede verzweigte Überlagerung ist jedoch auch eine verzweigt
étale Abbildung.
Ergänzende Übung 5.1.13. Man betrachte zu jeder topologischen Fläche X
die Kategorie VerzX ⊂ Top X aller endlichen verzweigten Überlagerungen
mit höchstens endlich vielen Verzweigungspunkten und zeige, daß für U ⊂◦ X
das Komplement einer endlichen Teilmenge der Restriktionsfunktor VerzX →
VerzU stets eine Äquivalenz von Kategorien ist.