Analysis

6. STETIGKEIT IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 263
Beweis. Sei X ein metrischer Raum. Ist X nicht kompakt, so finden wir in
X eine Folge ohne konvergente Teilfolge. Dann besitzt jeder Punkt von X
eine offene Umgebung, die nur endlich viele Folgenglieder enthält, und alle
diese offenen Umgebungen bilden eine offene Überdeckung von X ohne endliche
Teilüberdeckung. Das zeigt die eine Richtung. Den Beweis der anderen
Richtung beginnen wir mit einem Lemma, das auch für sich genommen oft
hilfreich ist.
Lemma 6.10.7 (Überdeckungssatz von Lebesgue). Ist X ein kompakter
metrischer Raum und U eine offene Überdeckung von X, so gibt es ein ε > 0
derart, daß für alle Punkte x ∈ X der ε-Ball B(x; ε) um x ganz in einer der
überdeckenden offenen Mengen U ∈ U enthalten ist.
Erster Beweis. Gäbe es kein solches ε > 0, so könnten wir für jedes n ∈ N≥1
einen Punkt xn ∈ X finden derart, daß B(xn; 1/n) in keinem U ∈ U enthalten
wäre. Durch Übergang zu einer Teilfolge könnten wir ohne Beschränkung der
Allgemeinheit zusätzlich annehmen, daß die Folge der xn konvergiert, etwa
gegen x ∈ X. Nun finden wir jedoch ein U ∈ U mit x ∈ U und dazu ρ > 0
mit B(x; ρ) ⊂ U und dazu N mit d(xN, x) < ρ/2 und 1/N < ρ/2, und dann
gälte B(xN; 1/N) ⊂ B(xN; ρ/2) ⊂ B(x; ρ) ⊂ U im Widerspruch zur Wahl der
xn.
Zweiter Beweis. Man betrachte die Funktion f : X → R gegeben durch die
Vorschrift
f(x) = sup{r ≤ 1 | Es gibt U ∈ U mit B(x; r) ⊂ U}
Die Dreiecksungleichung liefert |f(x) − f(y)| ≤ d(x, y), insbesondere ist f
stetig. Sicher dürfen wir X = ∅ annehmen. Dann nimmt f nach 6.7.11 sein
Minimum an, und dies Minimum ist ein mögliches ε > 0.
Um die andere Implikation im Satz zu zeigen sei nun X kompakt und U
eine offene Überdeckung von X. Es gilt zu zeigen, daß sie eine endliche Teilüberdeckung
besitzt. Wählen wir zu unserer Überdeckung U ein ε wie im
Überdeckungssatz 6.10.7, so reicht es auch zu zeigen, daß es eine endliche
Teilmenge E ⊂ X gibt mit
X =
B(x; ε)
x∈E
In der Tat liegt ja der ε-Ball B(x; ε) um ein beliebiges x ∈ X nach Wahl
von ε schon in einem der U ∈ U. Gäbe es aber für ein ε > 0 keine endliche
Überdeckung von X durch ε-Bälle, so könnten wir induktiv eine Folge (xn)n∈N