Analysis

1148 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
vertikalen Identifikationen
TP ↠ π ∗ TX
↓ ↓
TX × TeG × G ∼ → TX × TG ↠ TX × G
Eine Spaltung ∇ liefert insbesondere eine faserweise lineare Abbildung
TX = TX × {e} → TX × TeG → g
und so eine g-wertige 1-Form A = A∇ auf X. Umgekehrt bezeichne g r : G →
G, h ↦→ hg die Rechtsmultiplikation mit g ∈ G. Mit dieser Notation bestimmt
A ∈ Ω 1 (X) ⊗ g einen Zusammenhang durch die Vorschrift
∇A : TX × G → TX × TG
(v, g) ↦→ (v, (deg r ◦ A)(v))
Sei nun Y eine zweite Mannigfaltigkeit, H eine zweite Lie-Gruppe, und
π : Q → Y ein H-Hauptfaserbündel auf Y . Gegeben ψ : X → Y und einen
Homomorphismus von Lie-Gruppen ϕ : G → H verstehen wir unter einem
ϕ–Lift von ψ eine Abbildung ˜ ψ : P → Q derart, daß das Diagramm
P
˜ψ
→ Q
π ↓ ↓ π
X
ψ
→ Y
kommutiert und daß gilt ˜ ψ(pg) = ˜ ψ(p)ϕ(g) ∀p ∈ P, g ∈ G. Gegeben Zusammenhänge
∇ : π ∗ TX → TP und ∇ : π ∗ TY → TQ auf P und Q nennen
wir so einen ϕ-Lift horizontal genau dann, wenn das Diagramm
π ∗ TX ∇ → TP
↓ ↓ d ˜ ψ
π∗TY ∇
→ TQ
kommutiert, für die von dψ : TX → TY und ˜ ψ festgelegte vertikale Abbildung
links. Sind wieder P = X × G und Q = Y × H triviale Bündel, so
wird ein ϕ-Lift von ψ festgelegt durch die Abbildung f = f ˜ ψ : X → H,
f(x) = pr 2( ˜ ψ(x, e)), und gegeben so ein f erhalten wir ˜ ψ = ˜ ψf durch
˜ψ(x, g) = (ψ(x), f(x)ϕ(g))
Ist weiter TeH = h die Lie-Algebra von H und sind die Zusammenhänge
gegeben durch 1-Formen A ∈ Ω 1 (X) ⊗ g und B ∈ Ω 1 (Y ) ⊗ h, so ist ˜ ψ = ˜ ψf