Analysis

8. WURZELSYSTEME 1023
8.3 Basen von Wurzelsystemen
Definition 8.3.1. Eine Teilmenge Π ⊂ R eines Wurzelsystems heißt eine
Basis des Wurzelsystems genau dann, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen
erfüllt:
1. Π ist eine Basis des zugrundeliegenden Vektorraums V ;
2. Schreiben wir eine Wurzel β ∈ R als Linearkombination β =
α∈Π nαα
der Elemente von Π, so liegen die Koeffizienten nα entweder alle in Z≥0
oder alle in Z≤0.
Definition 8.3.2. Eine Teilmenge R + ⊂ R eines Wurzelsystems heißt ein
System positiver Wurzeln genau dann, wenn sie die folgenden beiden
Bedingungen erfüllt:
1. Das Wurzelsystem läßt sich schreiben als die disjunkte Vereinigung R =
R + ⊔ (−R + ), d.h. für jede Wurzel α ∈ R gilt α ∈ R + ⇔ (−α) ∈ R + .
2. Aus α1, . . . , αn ∈ R + und α1 + . . . + αn ∈ R folgt α1 + . . . + αn ∈ R + .
Satz 8.3.3 (Weylkammern, Basen, Systeme positiver Wurzeln). Gegeben
ein Wurzelsystem R ⊂ V erhalten wir ein kommutatives Diagramm
von Bijektionen
{Weylkammern in 〈R〉 ∗ Q }
6
→ {Weylkammern in 〈R〉Q}
4∨ ↑↓ 3∨ 4 ↑↓ 3
5
→ {Basen von R∨ }
{Basen von R}
2 ↑↓ 1 2 ∨ ↑↓ 1 ∨
{Systeme positiver Wurzeln in R}
5
→ {Systeme positiver Wurzeln in R ∨ }
vermittels der Abbildungen, die wir im folgenden genauer beschreiben:
1. Jeder Basis Π ⊂ R ordnet man als positives System die Menge R + (Π)
aller Wurzeln zu, die sich schreiben lassen als nichtnegative Linearkombination
der Basiselemente.
2. Jedem System positiver Wurzeln ordnet man als Basis die Menge aller
derjenigen Elemente des Systems zu, die sich nicht als Summe von zwei
oder mehr Elementen des besagten Systems schreiben lassen.
3. Jeder Weylkammer im rationalen Spann der Wurzeln ordnet man als
Basis des dualen Wurzelsystems die Menge derjenigen Kowurzeln zu,
die Gleichungen von Wänden unserer Kammer sind und die auf der
Kammer positive Werte annehmen.