Analysis

586 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
wir dabei nicht, deshalb die Betragsstriche. Wir fordern auch nicht, daß M
orientiert oder orientierbar sein soll, es dürfte sich etwa um ein Möbiusband
handeln.
Beispiel 7.4.7. Das Lebesgue-Maß auf R k ist das Maß zu dx1 ∧ . . . ∧ dxk, in
Formeln d k x = |dx1 ∧ . . . ∧ dxk|. Speziell ist |dx| das Lebesgue-Maß auf R. In
diesem Fall erlauben wir uns aus den bereits in 6.2.17 dargelegten Gründen
auch die Notation dx. Allgemeiner erhalten wir für f : R n → R meßbar die
Gleichheit von Maßen |f dx1 ∧ . . . ∧ dxk| = |f| d k x.
Beispiel 7.4.8. Ist M eine 0-Mannigfaltigkeit, als da heißt eine diskrete Teilmenge
eines endlichdimensionalen Raums, und ω eine relative 0-Form alias
eine reellwertige Funktion f auf M, so ist |ω| das Maß, das jedem Punkt
p ∈ M als Maß den Betrag des Funktionswerts |ωp| = |f(p)| zuordnet.
Beispiel 7.4.9. Wir betrachten als Differentialform die 1-Form ω = dx auf R2 und als Untermannigfaltigkeit die Kreislinie S1 = {(x, y) | x2 + y2 = 1}. In
diesem Fall stimmt das Maß |dx| auf S1 überein mit der Summe der Bildmaße
µ± des Lebesgue-Maßes auf dem Intervall [−1, 1] unter seinen vertikalen
Projektionen auf den oberen bzw. auf den unteren Halbkreis. Insbesondere
hätten wir also |dx|(S1 ) = 4. In der Tat, betrachten wir etwa die Karte
ϕ : (−1, 1) → S1 , t ↦→ (t, √ 1 − t2 ) und eine Borelmenge A in ihrem Bild,
dem offenen oberen Halbkreis, so ergibt sich mit unseren Definitionen
|dx|(A) = |ϕ ∗
(dx)(e1)| = | dt(e1)| = 1 = λ(ϕ −1 (A))
ϕ −1 (A)
für λ das Lebesguemaß auf [−1, 1].
ϕ −1 (A)
ϕ −1 (A)
7.4.10. Etwas vage mag man sich im Fall einer 2-Mannigfaltigkeit alias Fläche
im Anschauungsraum vorstellen, daß wir unsere Fläche lokal durch“parallelogrammförmige
Schuppen” approximieren, denen wir mithilfe unserer 2-Form
jeweils ein Maß zuordnen können, indem wir an jeder Stelle die beiden Kantenvektoren
unserer parallelogrammförmigen Schuppen in die der besagten
Stelle zugeordnete alternierende bilineare Abbildung einsetzen und vom Resultat
den Betrag nehmen. Dann gilt es, mit immer feineren Schuppen in
geeigneter Weise zum Grenzwert überzugehen. Konkreter erkläre ich nun eine
Interpretation durch Riemannsummen. Sei dazu (W, ϕ) eine orientierte
Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen Untermannigfaltigkeit
M ⊂ X, sei Q = [a, b] × [c, d] ⊂ W ein Rechteck und
P = ϕ(Q) ⊂ M sein Bild. Sei weiter ω : M → Alt 2 ( X) eine stetige relative
2-Form auf M. Wir betrachten für r ≥ 1 die äquidistanten Unterteilungen
a = a0 < a1 < . . . < ar = b, c = c0 < c1 < . . . < cr = d der Kanten von Q