Analysis

8. WURZELSYSTEME 1019
die endliche Weylgruppe und 〈R〉 ⊂ V das Wurzelgitter, so haben wir demnach
eine kurze exakte Sequenz 〈R〉 ↩→ W ↠ W , wobei die Surjektion jeder
affinen Bewegung aus W ihren linearen Anteil zuordnet.
Satz 8.2.2 (Affine Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme). Das
Bilden der affinen Weylgruppe liefert über jedem angeordneten Körper eine
Bijektion auf Isomorphieklassen
{Wurzelsysteme} ∼ → {essentielle affine Spiegelungsgruppen}
8.2.3. Der Beweis wird im Folgenden in eine Reihe von Lemmata aufgebrochen.
Genauer wird in 8.2.4 gezeigt, daß die affine Weylgruppe eines Wurzelsystems
in der Tat eine essentielle affine Spiegelungsgruppe ist, und in 8.2.8
und seinem Beweis wird eine inverse Abbildung konstruiert. Die Wurzelsysteme
selbst werden im Übrigen in 8.5.4 vollständig klassifiziert.
Lemma 8.2.4. Die affine Weylgruppe eines Wurzelsystems über einem angeordneten
Körper ist eine affine Spiegelungsgruppe und ihre Spiegelebenen
sind genau die affinen Ebenen Hα,n = {v | 〈v, α ∨ 〉 = n} = ker(α ∨ ) + (n/2)α
für α ∈ R, n ∈ Z.
Beweis. Wir betrachten die Menge H = {Hα,n | α ∈ R, n ∈ Z} von Hyperebenen.
Die Spiegelungen sα,n mit Fixpunktmenge Hα,n und linearem Anteil
sα stabilisieren H, und da H auch lokal endlich ist, muß H nach 7.3.13 gerade
die Menge aller Spiegelebenen der von den sα,n erzeugten affinen Spiegelungsgruppe
W ′ sein. Offensichtlich gilt W ′ ⊂ W, aber da sα,1sα,0 gerade
die Verschiebung λ ↦→ λ + α um die Wurzel α ∈ R ist, gilt auch umgekehrt
W ⊂ W ′ und mithin W = W ′ .
Definition 8.2.5. Gegeben eine affine Spiegelungsgruppe heißt ein Punkt
des zugrundeliegenden affinen Raums ein spezieller Punkt genau dann,
wenn es für jede Spiegelebene unserer Gruppe eine parallele Spiegelebene
unserer Gruppe gibt, die durch besagten Punkt geht.
Übung 8.2.6. Die speziellen Punkte der affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems
über einem angeordneten Körper sind genau die Punkte, an denen alle
Kowurzeln ganzzahlige Werte annehmen. Sie heißen die ganzen Gewichte
unseres Wurzelsystems.
Lemma 8.2.7. Für jede affine Spiegelungsgruppe gibt es mindestens einen
speziellen Punkt.