Analysis

580 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
und haben wir auf R 2 die 1-Form y dx gegeben, so wird sie zurückgeholt zu
φ ∗ (y dx) = φ ∗ (y)φ ∗ (dx)
= r sin ϑ d(r cos ϑ)
= r sin ϑ cos ϑ dr − r 2 sin 2 ϑ dϑ
und für die 2-Form dx ∧ dy erhalten wir
φ ∗ (dx ∧ dy) = φ ∗ (dx) ∧ φ ∗ (dy)
= d(r cos ϑ) ∧ d(r sin ϑ)
= (cos ϑ dr − r sin ϑ dϑ) ∧ (sin ϑ dr + r cos ϑ dϑ)
= r dr ∧ dϑ
Man mag sich letztere Formel dahingehend veranschaulichen, daß“ein kleines
orientiertes Flächenelement in der xy-Ebene unter der Polarkoordinatenabbildung
einem entsprechend größeren oder auch kleineren orientierten Flächenelement
in der rϑ-Ebene entspricht, je nachdem, in welchem Abstand
vom Ursprung unser ursprüngliches Flächenelement liegt”.
Lemma 7.2.15. Für A halboffen in R n und φ : A → R n stetig differenzierbar
gilt stets
φ ∗ (dx1 ∧ . . . ∧ dxn) = (det dφ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn
Beweis. Für jeden Endomorphismus L eines n-dimensionalen Vektorraums
V ist die induzierte Abbildung L ⊤ : Alt n V → Alt n V nach 7.1.15 gerade die
Multiplikation mit det L.
7.3 Orientierung von Mannigfaltigkeiten
Definition 7.3.1. Gegeben eine Untermannigfaltigkeit M ⊂ X eines endlichdimensionalen
reellen Raums und ein Punkt p ∈ M definieren wir den
Tangentialraum an M in p als den Vektorraum
TpM := im(duϕ) ⊂ X
für eine und jede Karte ϕ : U → M mit ϕ(u) = p. Wir haben also dim TpM =
dim M, und p + TpM ist der affine Teilraum von X, der anschaulich gesprochen
“M am besten approximiert bei p”.
Übung 7.3.2. Man zeige: Gegeben eine Untermannigfaltigkeit M ⊂ X eines
endlichdimensionalen reellen Raums und ein Punkt p ∈ M kann der Tangentialraum
TpM auch beschrieben werden als die Menge aller möglichen
Geschwindigkeitsvektoren bei p von in M verlaufenden und bei p differenzierbaren
Wegen.