Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1209
Alle Lösungen müssen auf dem Teil ihres Definitionsbereichs, auf dem die
Ableitung u ′ nicht verschwindet, demnach auch die Differentialgleichung
2u ′′ + 2u = −A
lösen. Das ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.
Eine Basis des Lösungsraums der zugehörigen homogenen Gleichung
bilden u1(ϑ) = sin ϑ und u2(ϑ) = cos ϑ. Eine spezielle Lösung der inhomogenen
Gleichung ist etwa us(ϑ) = −A/2. Die allgemeine Lösung ist also
u(ϑ) = b cos(ϑ − ϑ0) − A/2 für Konstanten b, ϑ0. Indem wir das in unsere ursprüngliche
Differentialgleichung einsetzen, erhalten wir b 2 − A 2 /4 = B alias
b = ± B + A 2 /4. Damit ist unser Problem gelöst. Wir prüfen gleich noch,
daß die Lösungen Kegelschnitte sein müssen.
3.2.6. Jetzt gilt es, eine Ellipse mit einem Brennpunkt im Ursprung (0, 0) ∈
R2 in Polarkoordinaten zu schreiben. Nach der Diskussion auf Seite ?? lautet
die entsprechende Gleichung
r + (r cos ϕ − a) 2 + r2 sin2 ϕ = c
für (a, 0) den zweiten Brennpunkt und ((a+c)/2, 0) den Schnittpunkt unserer
Ellipse mit der positiven x-Achse. Wir subtrahieren r auf beiden Seiten,
quadrieren zu
r 2 − 2ar cos ϕ + a 2 = r 2 − 2cr + c 2
und elementare Umformungen liefern
r =
c 2 − a 2
2c − 2a cos ϕ
Durch Ändern der Parameter zu β = a/c und α = (c2 − a2 )/2c landen wir
bei der Gleichung
α
r =
1 − β cos ϕ
Um unsere obige Gleichung zu prüfen, dürfen wir die Durchlaufgeschwindigkeit
beliebig wählen, so etwa auch ϕ(t) = t. Damit erhalten wir ˙ϕ = 1
und
˙r =
−αβ sin t −β sin t
=
(1 − β cos t) 2 α
und Einsetzen in unsere obige Gleichung liefert
Ml2 2α2 β2 sin 2 t + Ml2
2α2 (1 − 2β cos t + β2 cos 2 t) − Mc
E
(1 − β cos t) =
αlD2 r 2
D 2