Analysis

876 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Geradenbündel vor, dessen Totalraum man erhält als den Bahnenraum R 2 /Z
für die Operation von Z auf R 2 vermittels der Vorschrift
n ∗ (x, y) = (x + n, (−1) n y)
Auch Tangentialbündel werden im allgemeinen “verdrillt” sein. So besagt etwa
der Satz von Igel ??, daß es auf der Kugelschale S 2 kein stetiges Vektorfeld
ohne Nullstelle gibt. Das scheint mir auch anschaulich zumindest einleuchtend
und impliziert insbesondere, daß das Tangentialbündel TS 2 an die Kugelschale
nicht isomorph sein kann zum trivialen Bündel S 2 × R 2 . Ist das
Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit isomorph zum trivialen Bündel der
entsprechenden Dimension, gilt also in Formeln TX ∼ = X×R d mit d = dim X,
so heißt unsere Mannigfaltigkeit parallelisierbar.
Satz 4.4.15 (Tangentialbündel von Liegruppen). Für jede Liegruppe
G liefert das Verschieben von Tangentialvektoren am neutralen Element mit
Linksmultiplikationen einen Isomorphismus von Vektorraumbündeln
G × TeG ∼ → TG
(g , B) ↦→ (de(g·))(B)
Analoges gilt für das Verschieben mit Rechtsmultiplikationen.
4.4.16. Insbesondere ist also jede Liegruppe parallelisierbar und damit auch
die dreidimensionale Sphäre S 3 ∼ = SU(2). Außer S 0 , S 1 , S 3 gibt es nebenbei
bemerkt nur noch eine einzige weitere parallelisierbare Sphäre, nämlich die
S 7 . Deren Parallelisierbakeit hängt eng mit der Existenz der sogenannten
“Oktaven” zusammen, einer reell achtdimensionalen sogenannten “Kompositionsalgebra”,
vergleiche ??.
Beweis. Unsere Abbildung aus dem Satz ist glatt als Einschränkung der Verknüpfung
TG × TG ∼ → T(G × G) → TG der kanonischen Identifikation mit
dem Differential der Multiplikation unserer Gruppe. In der Tat bildet die erste
dieser Abbildungen nach 4.3.16 ja (0, B) ∈ TgG×TeG ab auf de(g, id)(B),
und unter dm wird das weiter abbgebildet auf (d(g,e)m ◦ de(g, id))(B). Wegen
m ◦ (g, id) = (g·) ist das aber nichts anderes als de(g·)(B). Bezeichnet
π : TG → G die Projektion unseres Bündels, so erhalten wir ähnlich eine
inverse Abbildung, indem wir die Komposition
TG (π,id)
−→ G × TG ↩→ TG × TG → T(G × G) dϕ
−→ TG
betrachten mit ϕ : G × G → G, (g, h) ↦→ g −1 h. Unter ihr geht nämlich
A ∈ TgG auf (dg(g −1 ·))(A) ∈ TeG.