Analysis

688 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
diskutierten Allgemeinheit kann das auch noch besser verstanden werden als
das Analogon obiger Formel im Fall der Gruppe Z mit ihrer Charaktergruppe
ˆZ = S 1 .
Beweis. Sei V unser endlichdimensionaler reeller Vektorraum und seien µ, ν ∈
M(V ) komplexe Maße. Da in der Behauptung beide Seiten bilinear sind, dürfen
wir unsere Maße endlich und nichtnegativ annehmen. Gegeben χ ∈ ˆ V
gilt es zu zeigen (µ ∗ ν) ∧ (χ) = µ ∧ (χ)ν ∧ (χ) alias
V
χ(v) (µ ∗ ν)〈v〉 =
V
χ(u)µ〈u〉
V
χ(w)ν〈w〉
Mit Hilfe der Beschreibung IV.6.5.15 von Integralen unter Bildmaßen und
der Definition der Faltung können wir die linke Seite umformen zu
(χ ◦ add)(u, w) (µ ⊠ ν)〈u, w〉 = χ(u + w) (µ ⊠ ν)〈u, w〉
V ×V
und wegen χ(u + w) = χ(u)χ(w) folgt die Behauptung dann leicht aus dem
Satz von Fubini.
Definition 2.5.9 (Faltung von Maßen mit stetigen Funktionen). Ist
V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, µ ∈ M(V ) ein komplexes Maß
auf V und f : V → C stetig und beschränkt, so erklären wir eine weitere
stetige beschränkte Funktion µ ∗ f auf V durch die Vorschrift
(µ ∗ f)(x) := f(x − y) µ〈y〉
Es reicht hier, die Stetigkeit der Funktion µ ∗ f im Fall positiver endlicher
Maße µ zu zeigen, in dem sie leicht aus dem Satz über dominierte Konvergenz
folgt.
Beispiel 2.5.10. Ist E ⊂ V endlich und µ =
y∈E ayδy eine Linearkombination
von Diracmaßen mit komplexen Koeffizienten, so haben wir
µ ∗ f =
ay(τyf)
y∈E
für τyf die um y verschobene Funktion gegeben durch (τyf)(x) = f(x − y).
Ähnliches gilt allgemeiner für abzählbare Linearkominationen von Diracmaßen
mit einer absolut konvergenten Familie von Koeffizienten.
Übung 2.5.11. Sind V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, µ, ν ∈
M(V ) komplexe Maße auf V und f : V → C stetig und beschränkt, so gilt
V ×V
µ ∗ (ν ∗ f) = (µ ∗ ν) ∗ f