Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 511
6 Maß und Integral
Es mag nahe liegen zu versuchen, jeder Teilmenge des R n ein “Volumen”
oder “Maß” in [0, ∞] so zuordnen, daß (1) das Verschieben von Mengen ihr
Maß nicht ändert, daß (2) bei beliebigen disjunkten Vereinigungen das Maß
der Vereinigung die Summe der Maße ist, und daß (3) dem Einheitswürfel
[0, 1] n das Maß Eins zugeordnet wird. Kurzes Nachdenken zeigt jedoch, daß
das unmöglich gelingen kann: Für solch ein Volumen müßte nämlich jeder
Punkt Volumen Null haben, da ja unendlich viele verschiedene Punkte im
Einheitswürfel liegen, und dann müßte auch der ganze Einheitswürfel Volumen
Null haben als disjunkte Vereinigung einpunktiger Teilmengen. Um
diesen Widerspruch zu vermeiden, mag man etwas schwächer statt (2) nur
noch bei abzählbaren disjunkten Vereinigungen fordern wollen, daß das Maß
der Vereinigung die Summe der Maße ist, aber auch solch einen Volumenbegriff
kann es für beliebige Teilmengen von R n nicht geben, wie in 6.1.28
ausgeführt wird. Es ist jedoch möglich, gewisse Teilmengen des R n als “meßbar”
auszuzeichnen derart, daß alle “einigermaßen vernünftigen” Teilmengen
meßbar sind, und jeder dieser meßbaren Mengen ein Volumen so zuzuordnen,
daß Bedingung (1), die abzählbare Variante von (2) sowie (3) entsprechend
gelten. Im folgenden will ich das ausführen und zeigen, wie davon ausgehend
auch eine sehr allgemeine Integrationstheorie entwickelt werden kann, die
sich sowohl in der weiteren Entwicklung der Analysis als auch bei der mathematischen
Modellierung der Wahrscheinlichkeit als außerordentlich nützlich
erweisen wird.
6.1 Maßräume und Maße
6.1.1. Gegeben eine Menge X erinnere ich daran, daß wir nach I.2.1.13 die
Menge aller ihrer Teilmengen bilden dürfen, und daß diese Menge die Potenzmenge
P(X) von X heißt. Weiter erinnere ich daran, daß in diesem
Text aus rein didaktischen Erwägungen heraus Teilmengen der Potenzmenge
P(X) einer Menge X vorzugsweise als “Systeme von Teilmengen von X” oder
“Mengensysteme” angesprochen werden.
Definition 6.1.2. Ein System von Teilmengen A ⊂ P(X) einer Menge X
heißt eine Mengenalgebra genau dann, wenn gilt:
1. ∅ ∈ A;
2. A, B ∈ A ⇒ (A ∪ B) ∈ A;
3. A ∈ A ⇒ (X\A) ∈ A.