Analysis

1104 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Nun hat der Weg t ↦→ (x, y)(exp tA) bei t = 0 denselben Geschwindigkeitsvektor
wie der Weg t ↦→ (x, y)(I + tA) oder in Koordinaten ausgeschrieben
der Weg t ↦→ (x + xta11 + yta21, y + xta12 + yta22) für aij die Einträge
der Matrix A ∈ sl(2; R). Unser Geschwindigkeitsvektor bei (x, y) ist also
(xa11 + ya21)∂x + (xa12 + ya22)∂y. Nun gehen wir über zur Operation der
komplexifizierten Lie-Algebra sl(2; C) und wählen darin die Basis
H = ( 0
− i i 0)
X = 1
2 ( i 1
1
− i)
Y = 1
2 (− i 1 1 i )
mit der Eigenschaft, daß H eine Basis von LieC K ist und die Lie-Klammern
durch [H, X] = 2X, [H, Y ] = 2Y , [X, Y ] = H gegeben werden. Diese Elemente
der kompllexifizierten Lie-Algebra operieren dann durch Differentialoperatoren
wie folgt:
H ↦→ −i(y∂x − x∂y) = ¯z ∂ ∂ − z ∂¯z ∂z
X ↦→ 1
2 (ix∂x − iy∂y + x∂y + y∂x) = i¯z ∂
∂z
Y ↦→ 1
2 (−ix∂x − iy∂y + x∂y + y∂x) = −iz ∂
∂¯z
Hier sind ganz links Wirtinger-Ableitungen aus VIII.1.5.6 gemeint. Unsere
Funktionen vn,λ : z ↦→ |z| −λ (z/|z|) n lassen sich nun auf der längs der negativen
reellen Achse geschlitzten komplexen Zahlenebene schreiben als
vn,λ : z ↦→ z −n/2−λ/2 ¯z n/2−λ/2
mit a µ = exp(µ log a) für log den Hauptzweig des Logarithmus. Mit dem
Wirtingerkalkül VIII.1.5.9 erhalten wir dann sehr übersichtlich
Hvn,λ = nvn,λ
Xvn,λ = −(i /2)(n + λ)vn+2,λ
Y vn, λ = −(i /2)(n − λ)vn−2,λ
Der Wirtinger-Kalkül ist hier nicht eigentlich nötig, die Rechnung wird aber
vergleichsweise mühsam und unübersichtlich, wenn man ihn vermeiden will.
Den Faktor i können wir noch wegnormalisieren, indem wir bei festem λ zu
den Vektoren w2n = (− i) n v2n und w2n+1 = (− i) n v2n+1 übergehen, und damit
ergeben sich dann schließlich die besonders übersichtlichen Formeln
Hwn = nwn
Xwn = (1/2)(λ + n)wn+2
Y wn = (1/2)(λ − n)wn−2
Sie sind es, die der nebenstehenden Abbildung zugrunde liegen. Jetzt ist der
Beweis zwar noch nicht fertig, meine Geduld aber am Ende.