Analysis

1012 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
8 Wurzelsysteme
Die folgenden Abschnitte können als vollständige Klassifikation der reellen
affinen Spiegelungsgruppen gelesen werden. In 7.6.7 haben wir ja bereits die
endlichen reellen Spiegelungsgruppen klassifiziert. Nach 7.7.7 dürfen wir uns
von nun an auf die Klassifikation der essentiellen affinen Spiegelungsgruppen
beschränken. In 8.2.2 konstruiere ich eine eineindeutige Entsprechung zwischen
den essentiellen affinen Spiegelungsgruppen und sogenannten “Wurzelsystemen”,
die im kommenden Abschnitt eingeführt werden. Nach einigen
weiteren Vorarbeiten gelingt dann schließlich in 8.5.4 die vollständige Klassifikation
dieser Wurzelsysteme, die im ürigen weit über diese Anwendung
hinaus eine zentrale Rolle in der Lietheorie spielen.
8.1 Wurzelsysteme und ihre Weylgruppen
Definition 8.1.1. Sei V ein Vektorraum über einem Körper k der Charakteristik
Null. Eine Teilmenge R ⊂ V heißt ein Wurzelsystem oder präziser
ein reduziertes Wurzelsystem genau dann, wenn die folgenden drei Bedingungen
erfüllt sind:
1. Die Menge R ist endlich, erzeugt V , und enthält nicht den Nullvektor;
2. Für jede Wurzel α ∈ R gibt es eine Spiegelung s : V → V im Sinne
von 7.1.1 mit s(α) = −α, s(R) ⊂ R und s(β) − β ∈ Zα ∀β ∈ R. Für
jede Wurzel β ∈ R soll in anderen Worten die Differenz s(β) − β ein
ganzzahliges Vielfaches von α sein;
3. Außer ihrem Negativen ist kein Vielfaches einer Wurzel wieder eine
Wurzel, d.h. für jedes α ∈ R gilt kα ∩ R ⊂ {α, −α}.
8.1.2. Die Elemente eines Wurzelsystems nennt man Wurzeln. Wir werden
gleich sehen, daß es zu jeder Wurzel α nur eine Spiegelung s geben kann, die
oben Bedingung 2 erfüllt. Wir notieren sie s = sα und nennen sie die Spiegelung
zur Wurzel α. Eine Teilmenge R ⊂ V , die nur die obigen Bedingungen
1 und 2 erfüllt, nennt man ein nichtreduziertes Wurzelsystem. Die leere
Menge ist ein Wurzelsystem im Nullvektorraum.
Übung 8.1.3 (Das Wurzelsystem E8). Die Menge R aller Vektoren aus Z 8
mit euklidischer Länge a 2 1 +a 2 2 +. . .+a 2 8 = 8, durch vier teilbarer Summe a1 +
a2 +. . .+a8 ∈ 4Z und allen Einträgen von derselben Parität ai −aj ∈ 2Z ∀i, j
ist ein Wurzelsystem in Q 8 mit 240 Wurzeln. Dieses Wurzelsystem trägt den
Namen E8. Betrachtet man darin nur diejenigen Elemente, bei denen alle
Einträge gerade Parität haben, so erhält man auch ein Wurzelsystem, das
den Namen B8 trägt und zur kompakten Liegruppe SO(16) gehört.