Analysis

3. VERSCHIEDENE WEITERFÜHRENDE RESULTATE 1405
Satz 3.4.4 (Produktentwicklung der Γ-Funktion). Im Sinne der kompakten
Konvergenz der Partialprodukte auf dem Komplement der nichtpositiven
ganzen Zahlen gilt mit der Abkürzung γ = limn→∞( n 1
k=1 − log n) die
k
Formel
Γ(z) = e−γz
∞
1 +
z
z
−1 e
k
z/k
k=1
3.4.5. Um zu sehen, daß der Grenzwert γ existiert, interpretieren wir diese
Folge als Eins plus die Differenz zwischen einer geeigneten Untersumme und
dem Integral der Funktion x ↦→ 1/x auf [1, n]. Diese Differenzen sind dann
offensichtlich beschränkt durch Eins.
Beweis der beiden Sätze. (1) Wir prüfen zunächst den ersten Satz im Fall
z > 1. Man geht aus von der Identität
n
1 − t
n t
n
z−1 n
n! t
dt =
z+n−1 dt
nnz(z + 1) . . . (z + n − 1) =
n! nz z(z + 1) . . . (z + n)
0
0
die man durch partielle Integration leicht prüft. Es gilt damit nur noch zu
zeigen, daß die linke Seite für z > 1 gegen Γ(z) strebt. Man kann das mit
elementaren Methoden unschwer sehen, vergleiche zum Beispiel [?]. Es folgt
aber auch direkt aus dem Satz von Lebesgue über das Vertauschen von Integralen
und punktweiser monotoner Konvergenz IV.6.4.9, wenn wir für alle
t ∈ [0, n) die Abschätzungen
1 − t
n+1
≥ 1 −
n + 1
t
n n
nachweisen. Dazu nehmen wir auf beiden Seiten den Logarithmus und müssen
zeigen, daß für t ∈ [0, n) die Funktion x ↦→ x log(1 − t ) monoton wächst auf
x
[n, ∞). Ihre Ableitung ergibt sich zu
log 1 − t
+
x
t
1 −
x
t
−1 x
und es reicht folglich zu zeigen, daß die Funktion y ↦→ log(1 − y) + y(1 − y) −1
nichtnegativ ist für y ∈ [0, 1). Bei y = 0 nimmt diese Funktion jedoch den
Wert Null an und ihre Ableitung
wird auf [0, 1) nicht negativ.
−1 (1 − y) + y
+
1 − y (1 − y) 2
=
y
(1 − y) 2