Analysis

18. UNBEFRIEDIGENDE VERSUCHE 1173
Definition 18.2.1. 1. Ein Borel-Maß heißt lokal endlich genau dann,
wenn jeder Punkt eine offene Umgebung von endlichem Maß besitzt.
2. Ein Borel-Maß heißt von innen regulär genau dann, wenn das Maß
jeder Borel-Menge das Supremum ist über die Maße aller in ihr enthaltenen
Kompakta. Ein Borel-Maß heißt von außen regulär genau
dann, wenn das Maß jeder Borel-Menge das Infimum ist über die Maße
aller sie enthaltenden offenen Mengen. Ein Borel-Maß heißt regulär
genau dann, wenn es von innen und außen regulär ist.
3. Ein Radon-Maß oder genauer ein positives Radon-Maß auf einem
topologischen Raum ist ein lokal endliches von innen reguläres Borel-
Maß.
18.2.2. Manche Autoren wie z.B. [Hal70] verwenden die Begriffe“Borel-Menge”
und “Borel-Maß” in einer leicht anderen Bedeutung. Ich halte mich an [?, ?].
Lemma 18.2.3. Gegeben ein Radon-Maß auf einem topologischen Raum gibt
es eine größte offene Teilmenge vom Maß Null. Ihr Komplement heißt der
Träger des Maßes.
Beweis. Es gilt zu zeigen, daß die Vereinigung aller offenen Teilmengen vom
Maß Null auch Maß Null hat. Sonst enthielte sie jedoch wegen der inneren
Regularität ein Kompaktum von echt positivem Maß, und dies Kompaktum
müsste eine endliche Überdeckung besitzen durch offene Mengen vom Maß
Null. Widerspruch!