Analysis

260 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
6.9.21 über die Äquivalenz von Normen ist sie dann notwendig offen für jede
von einer Norm induzierte Metrik. Die so erklärten offenen Teilmengen
bilden die sogenannte natürliche Topologie auf unserem endlichdimensionalen
reellen Raum.
Übung 6.9.23. Jede lineare Abbildung von einem endlichdimensionalen Vektorraum
in einen normierten Vektorraum W ist stetig. Sind allgemeiner endlichdimensionale
Vektorräume V1, . . . , Vn gegeben, so ist jede multilineare Abbildung
V1 × . . . × Vn → W stetig.
Definition 6.9.24. Ist f : V → W eine stetige lineare Abbildung normierter
Vektorräume, so heißt die kleinstmögliche Konstante C ≥ 0 wie in 6.9.13 auch
die Operatornorm f von f, in Formeln
f = sup{f(v) | v ≤ 1}
Übung 6.9.25. Sind f : V → W und g : W → X stetige Abbildungen
zwischen normierten Vektorräumen, so gilt g ◦ f ≤ gf.
6.9.26. Die stetigen linearen Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen
V, W nennt man auch beschränkte Operatoren, da sie nach 6.9.13
genau die linearen Abbildungen sind, die den Einheitsball auf eine beschränkte
Menge abbilden. Ich notiere die Menge aller solchen Abbildungen B(V, W )
oder auch BR(V, W ), wenn ich besonders betonen will, daß reell-lineare Abbildungen
gemeint sind und nicht etwa “komplex-lineare” Abbildungen, wie
wir sie später für gewöhnlich betrachten werden. Ich werde die Notation B
benutzen, die Terminologie jedoch vermeiden und nach Möglichkeit von stetigen
Operatoren reden, da diese ja keineswegs beschränkte Abbildungen
im Sinne von 6.3.4 zu sein brauchen.
Übung 6.9.27. Man zeige: Der Raum B(V, W ) aller stetigen linearen Abbildungen
zwischen normierten Vektorräumen V, W ist ein Untervektorraum
im Raum Hom(V, W ) aller linearen Abbildungen von V nach W , und die in
6.9.24 eingeführte Abbildung f ↦→ f ist eine Norm auf B(V, W ).
Ergänzende Übung 6.9.28. Sind normierte Vektorräume V1, . . . , Vn und W
gegeben und ist f : V1 × . . . × Vn → W eine stetige multilineare Abbildung,
so heißt die kleinstmögliche Konstante C ≥ 0 wie in 6.9.18 die Norm von f
und wird notiert
f = sup{f(v1, . . . , vn) | vi ≤ 1}
Man zeige, daß wir so eine Norm auf dem Vektorraum B(V1, . . . , Vn; W ) aller
stetigen multilinearen Abbildungen erhalten. Weiter zeige man: Die offensichtliche
Abbildung liefert einen Isomorphismus von normierten Räumen
B(V1, B(V2, . . . , Vn; W )) ∼ → B(V1, . . . , Vn; W )