Analysis

1044 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ergänzende Übung 10.5.8. Der Ring der stetigen darstellenden Funktionen
auf der Gruppe SL(2; R) besteht genau aus allen Funktionen, die sich durch
Polynome in den vier Matrixeinträgen ausdrücken lassen. Hinweis: 2.2.16.
10.6 Kompakte Operatoren
Definition 10.6.1. Eine lineare Abbildung zwischen normierten Vektorräumen
heißt kompakt genau dann, wenn sie die Einheitskugel auf eine Menge
mit kompaktem Abschluß abbildet.
Ergänzende Übung 10.6.2. Eine Komposition von zwei stetigen Operatoren
zwischen normierten Vektorräumen ist kompakt, wenn einer der Faktoren
kompakt ist.
Ergänzende Übung 10.6.3. Die kompakten linearen Abbildungen von einem
normierten Vektorraum in einen Banachraum bilden eine abgeschlossene Teilmenge
im Raum aller stetigen linearen Abbildungen mit der Operatornorm.
Satz 10.6.4 (Spektrum kompakter selbstadjungierter Operatoren).
Gegeben ein kompakter selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum
ist das Erzeugnis seiner Eigenräume dicht und alle seine Eigenräume zu von
Null verschiedenen Eigenwerten sind endlichdimensional.
Beweis. Sei H unser Hilbertraum und T : H → H unser kompakter selbstadjungierter
Operator. Wir zeigen zunächst, daß unter der Annahme H = 0
entweder T oder −T ein Eigenwert ist, und wiederholen dazu erst einmal
den Beginn des Beweises für den Satz über den Spektralradius V.3.4.1.
Gegeben ein Vektor v der Länge Eins gilt T v 2 = 〈T v, T v〉 = 〈v, T 2 v〉 ≤
vT 2 v = T 2 v. Das zeigt T 2 ≤ T 2 . Die andere Ungleichung gilt eh,
womit wir für jeden selbstadjungierten Operator T folgern
T 2 = T 2
Unter der Annahme H = 0 finden wir in H eine Folge von Einheitsvektoren
vn mit limn→∞ T 2 vn = T 2 . Wegen T 2 vn ≤ T T vn ≤ T 2 = T 2
folgt limn→∞ T vn = T zumindest falls T = 0, und im Fall T = 0
ist das eh klar. Wir setzen nun c = T und behaupten zunächst, daß c 2 ein
Eigenwert von von T 2 ist. In der Tat gilt ja
(T 2 − c 2 )vn 2 = 〈vn, (T 4 − 2c 2 T 2 + c 4 )vn〉 = T 2 vn 2 − 2c 2 T vn 2 + c 4
und das strebt für n → ∞ offensichtlich gegen Null. Da wir nun T kompakt
angenommen hatten, dürfen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die