Analysis

6. STRUKTUR KOMPAKTER LIEGRUPPEN 941
Beweis. Sei G unsere Gruppe. Wir nehmen dim G > 1 an und müssen zeigen,
daß G isomorph ist zu SO(3) oder zu SU(2). Wir zeigen zunächst dim G = 3.
Sei dazu T ⊂ G ein maximaler Torus und g := LieC G die komplexifizierte
Liealgebra. Die komplexe Konjugation induziert eine schieflineare Involution
c : g → g, deren Invarianten in natürlicher Weise mit der ursprünglichen Liealgebra
Lie G selbst identifiziert werden können. Jetzt zerlegen wir g unter
der adjungierten Operation des maximalen Torus wie in 2.4.12 in Gewichtsräume
g =
α∈X(T )
In Formeln haben wir also g α = {X ∈ g | (Ad t)(X) = α(t)X ∀t ∈ T }.
Hier gilt [g α , g β ] ⊂ g α+β , wie der Leser unschwer nachrechnet. Weiter gilt die
Formel c(g α ) = g −α , denn für X ∈ g α und alle t ∈ T haben wir notwendig
g α
(Ad t)(c(X)) = c(Ad t)X
= c(α(t)X)
= α(t) −1 c(X)
Hier verwenden wir, daß α(t) stets eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis
ist, und für diese fällt das Inverse mit dem komplex Konjugierten zusammen.
Da unser maximaler Torus nach 6.1.5 zumindest die Einszusammenhangskomponente
seines eigenen Zentralisators ist—daß unser maximaler Torus
sogar genau sein eigener Zentralisator ist, zeigen wir erst später—folgt mit
4.8.27 zunächst Lie T = Lie ZG(T ) = {X ∈ Lie G | (Ad t)(X) = X ∀t ∈ T }
und dann auch in der Komplexifizierung g0 = LieC T . Ist die Dimension unserer
Gruppe größer als Eins, so gibt es folglich mindestens ein α ∈ X(T )\0 mit
gα = 0 = g−α . Jetzt wählen wir einen Erzeuger γ der Charaktergruppe X(T )
unseres maximalen Torus und m > 0 kleinstmöglich mit gmγ = 0. Wählen wir
dann X ∈ gmγ von Null verschieden, so haben wir [X, c(X)] = 0, da sonst die
c-Invarianten in CX ⊕ Cc(X) eine zweidimensionale abelsche Unteralgebra
von Lie G bildeten, im Widerspruch zu 6.1.10. Also ist [X, c(X)] eine Basis
von g0 . Jetzt betrachten wir in g den Untervektorraum
V = Cc(X) ⊕
g nγ
Er ist offensichtlich stabil unter ad X und ad c(X), folglich hat der Kommutator
[ad X, ad c(X)] = ad[X, c(X)] Spur Null auf V , und damit auch ad(H)
für alle H ∈ LieC T . Bezeichnen wir der Einfachheit halber das Differential
von γ auch mit γ : Lie T → C, so erhalten wir für alle H ∈ Lie T nach 4.11.2
die Identität
0 = tr(ad H : V → V ) = −mγ(H) +
nγ(H) dimC(g nγ )
n≥0
n≥m