Analysis

164 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
Definition 3.4.7. Sei D ⊂ R eine Menge von reellen Zahlen. Eine reellwertige
Funktion f : D → R heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn
folgende Aussage richtig ist: Für beliebiges ε > 0 gibt es δ > 0 derart, daß
für alle x, y ∈ D mit |x − y| < δ gilt |f(x) − f(y)| < ε.
3.4.8. Bei der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit kommt es wesentlich
auf den Definitionsbereich D an. Da wir Funktionen vielfach angeben, ohne
ihren Definitionsbereich explizit festzulegen, ist es in diesem Zusammenhang
oft sinnvoll, den jeweils gemeinten Definitionsbereich zu präzisieren. Dazu
benutzen wir die Sprechweise f ist gleichmäßig stetig auf D.
3.4.9. Ich will nun den Unterschied zur Stetigkeit diskutieren. Eine reellwertige
Funktion f : D → R mit Definitionsbereich D ⊂ R heißt ja stetig bei
p ∈ D genau dann, wenn es für jedes ε > 0 ein δ = δ(ε, p) > 0 gibt derart,
daß für alle x ∈ D mit |x − p| < δ(ε, p) gilt |f(x) − f(p)| < ε. Des weiteren
heißt sie stetig, wenn sie an jeder Stelle p ∈ D stetig ist. Gleichmäßige Stetigkeit
bedeutet nun, daß für jedes ε > 0 ein δ = δ(ε) gewählt werden kann,
das es als δ(ε) = δ(ε, p) für alle p ∈ D gleichzeitig tut.
Beispiel 3.4.10. Die Funktion f : R → R, x ↦→ x 2 ist nicht gleichmäßig stetig
auf R, denn |x 2 − y 2 | = |x − yx + y| kann auch für sehr kleines |x − y| noch
groß sein, wenn nur |x + y| hinreichend groß ist. Die Einschränkung dieser
Funktion auf ein beliebiges reelles Kompaktum ist aber daselbst gleichmäßig
stetig nach dem anschließenden Satz.
Satz 3.4.11 (Gleichmäßige Stetigkeit auf Kompakta). Jede reellwertige
stetige Funktion auf einem reellen Kompaktum ist auf besagtem Kompaktum
gleichmäßig stetig.
Beweis. Wir argumentieren durch Widerspruch und zeigen, daß eine Funktion
auf einem reellen Kompaktum, die nicht gleichmäßig stetig ist, auch nicht
stetig sein kann. Sei dazu K ⊂ R unser Kompaktum und f : K → R unsere
Funktion. Wäre f nicht gleichmäßig stetig, so gäbe es ein ε > 0, für das wir
kein δ > 0 finden könnten: Wir probieren alle δ = 1
n
und finden immer wie-
der xn, yn ∈ K mit |xn − yn| < 1
n , für die dennoch gilt |f(xn) − f(yn)| ≥ ε.
Gehen wir zu einer Teilfolge über, so dürfen wir ohne Beschränkung der
Allgemeinheit annehmen, daß die Folge der xn gegen einen Punkt von K
konvergiert, in Formeln limn→∞ xn = x mit x ∈ K. Damit folgt natürlich
auch limn→∞ yn = x. Wäre nun f stetig bei x, so folgte
lim
n→∞ f(xn) = f(x) = lim f(yn)
n→∞
und damit lägen notwendig fast alle f(xn) und fast alle f(yn) im Intervall
(f(x) − ε/2, f(x) + ε/2). Das steht jedoch im Widerspruch dazu, daß ja nach