Analysis

1. MATRIX-LIEGRUPPEN 783
SkriptenBilder/BildKLD.png
Dieses Bild soll die zur Formel von eben äquivalente Formel
1
[A, B] = lim (exp(−tA) exp(−tB) exp(tA) exp(tB) − I)
t→0 t2 anschaulich machen im Fall der in 1.5.8 behandelten Drehgruppe für
B = E1 und A = E2. Die x-Achse kommt darin senkrecht aus dem Papier,
und das Bild zeigt, wie ein Punkt auf der x-Achse “in der Höhe 1 oberhalb
der Papierebene” sich bewegt, wenn wir erst ein bißchen um die x-Achse
drehen—dabei bleibt er fest—dann dasselbe bißchen um die y-Achse, dann
um die x-Achse in der Gegenrichtung und schließlich um die y-Achse in der
Gegenrichtung, jeweils um denselben kleinen Winkel, im Bild etwa 1/2 im
Bogenmaß. Machen wir diesen Winkel kleiner, so werden die Effekte des
Drehens um die y-Achse in der Aufsicht in etwa linear kleiner, genauer hat
der erste vertikale Pfeil die Länge sin t, aber der Effekt des Drehens um die
x-Achse wird quadratisch kleiner, genauer hat der krumme eher horizontale
Pfeil die Länge t sin t. Ich finde, man sieht ganz gut, daß die Differenz von
Ausgangs- und Endpunkt unseres Pfeilweges gegen eine quadratisch kleine
Drehung um die z-Achse strebt, wie es auch unsere Formel [E1, E2] = E3
vorhersagt.