Analysis

1320 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
Dazu beachten wir in anschließend erklärter Notation
fµ
Ka+1
a+1
∞ ≥ lim
n→∞
hnfµ
Ka+1
a+1
∞ = lim lim
n→∞ i→∞
≥ lim lim
i→∞ n→∞
= lim
i→∞
Ka
= fµ a
∞ =
Ka
Ka+1
Ka+1
fµd(i)
(hnf)µd(i)
(hnf)µd(i)
Ka+1
fµ a ∞
Hier meint hn : Ka+1 → [0, 1] eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen,
die punktweise gegen die charakteristische Funktion von Ka konvergiert:
So etwas gibt es, da Ka+1 ein metrischer Raum ist und Ka ⊂ V Ka+1 eine abgeschlossene
Teilmenge. Die entscheidende mittlere Ungleichung schließlich
rührt daher, daß unsere Folge in n monoton fällt. Haben wir aber ganz allgemein
nichtnegative reelle an,i, so gilt stets
inf
n
lim
i→∞ an,i
≥ lim
i→∞
inf
n an,i
falls die fraglichen Limites existieren, denn offensichtlich gilt aν,i ≥ infn(an,i)
für alle i und alle ν. Damit folgt wie behauptet µ a ∞ ≤ µ a+1
∞ ≤ . . . und wir
können nach Übung IV.6.1.33 ein Maß µ ∞ ∞ auf X erklären durch die Vorschrift
µ ∞ ∞(A) := lim
a→∞ µ a ∞(A)
für jede Borelmenge A ⊂ X. Es bleibt nur noch zu zeigen, daß die Folge der
µd(i) schwach gegen µ ∞ ∞ konvergiert. Ist f ∈ C(X, [0, 1]) gegeben, so gilt es
dafür zu zeigen
lim
i→∞
fµd(i) =
X
fµ
X
∞ ∞
Für alle ε > 0 gibt es jedoch ein a mit µd(i)(X\Ka) ≤ ε für alle i und mit
µ ∞ ∞(X) − µ a ∞(X) < ε. Dann hat
X fµ∞∞ einen Abstand ≤ ε zu
X fµa∞ =
Ka fµa∞ und und jedes Glied der Folge
X fµd(i) hat einen Abstand ≤ ε zu
dem entsprechenden
Ka fµd(i) und aus
Ka fµa
∞ = limi→∞ Ka fµd(i) folgt,
daß für hinreichend großes i der Abstand oben unter 3ε fallen muß.
4.16 Produkte von Wahrscheinlichkeitsräumen
Lemma 4.16.1 (Projektiver Limes von Maßräumen). Sei T eine Indexmenge
und sei für jedes endliche I ⊂ T ein endliches Maß µI auf Ens(I, [0, 1])